Question

計算：
（1）(

1

x-y

+

1

x+y

)÷

xy

x2-y2

（2）

4

-(

1

5 +2

)0+(-2)3÷3-1
（3）（

a

a-1

-

2

a2-1

）÷（1-

1

a+1

）
（4）解方程：

x

x-1

=

3

2x-2

-2
（5）先化簡，后求值：(1+

1

x

)÷

x2-1

x

，其中x=

2

．
（6）已知：a-

1

a

=3，求a2+

1

a2

的值．
（7）若方程

2

x-2

+

mx

x2-4

=

3

x+2

有增根，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先把括號內(nèi)的兩個分式通分，并把除數(shù)的分母分解因式，把除法轉(zhuǎn)化為乘法運算，然后約分即可；
（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，任何非0數(shù)的0次冪等于1，有理數(shù)的乘方的定義以及有理數(shù)的負(fù)整數(shù)指數(shù)次冪等于正整數(shù)指數(shù)次冪的倒數(shù)進(jìn)行計算即可；
（3）先把兩個括號內(nèi)的分式通分并計算，然后把除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，根據(jù)分式的乘法運算約分即可；
（4）方程兩邊都乘以最簡公分母2（x-1），把分式方程化為整式方程并求解，再進(jìn)行檢驗；
（5）把括號內(nèi)的分式通分并計算，把除式的分子分解因式，并把除法轉(zhuǎn)化乘法，然后根據(jù)分式的乘法運算計算，最后把x的值代入進(jìn)行計算即可得解；
（6）把已知條件兩個平方，根據(jù)完全平方公式展開整理即可得解；
（7）方程兩邊都乘以最簡公分母（x+2）（x-2），把分式方程化為整式方程，再根據(jù)分式方程的增根是使最簡公分母等于0的未知數(shù)的值求出增根，然后代入計算即可得解．

解答：解：（1）（

1

x-y

+

1

x+y

）÷

xy

x2-y2

=

x+y+x-y

(x-y)(x+y)

÷

xy

(x-y)(x+y)

=

2x

(x-y)(x+y)

×

(x-y)(x+y)

xy

=

2

y

；

（2）

4

-（

1

5 +2

）⁰+（-2）³÷3^-1
=2-1-8÷

1

9

=1-8×9
=1-72
=-71；

（3）（

a

a-1

-

2

a2-1

）÷（1-

1

a+1

）
=

a2+a-2

(a+1)(a-1)

÷

a+1-1

a+1

=

(a-1)(a+2)

(a+1)(a-1)

×

a+1

a

=

a+2

a

；

（4）方程兩邊都乘以2（x-1）得，
2x=3-4（x-1），
2x=3-4x+4，
6x=7，
x=

7

6

，
檢驗：當(dāng)x=

7

6

時，2（x-1）=2（

7

6

-1）=

1

3

≠0，
所以，x=

7

6

是方程的解，
因此，原分式方程的解是x=

7

6

；

（5）（1+

1

x

）÷

x2-1

x

=

x+1

x

×

x

(x+1)(x-1)

=

1

x-1

，
當(dāng)x=

2

時，原式=

1

x-1

=

1

2 -1

=

2

+1；

（6）∵a-

1

a

=3，
∴（a-

1

a

）²=9，
即a²-2+

1

a2

=9，
整理得，a²+

1

a2

=11；

（7）方程兩邊都乘以（x+2）（x-2）得，
2（x+2）+mx=3（x-2），
∵分式方程有增根，
∴（x+2）（x-2）=0，
解得x₁=-2，x₂=2，
當(dāng)x₁=-2時，2（-2+2）-2m=3（-2-2），
解得m=6，
當(dāng)x₂=2時，2（2+2）+2m=3（2-2），
解得m=-4，
所以m的值為6或-4．

點評：本題考查了分式的運算，分式的化簡求值，0指數(shù)冪的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，解分式方程，以及分式方程的增根問題，考查的知識點較多，且比較復(fù)雜，計算時一定要細(xì)心．