Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．

（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．

①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)經(jīng)過(guò)1秒時(shí)，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；

②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD≌△CPQ？

（2）若點(diǎn)Q以②的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC的三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上會(huì)相遇？

Answer 1

【答案】（1）①是，見解析；②；（2）24秒，BC

【解析】

（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求得∠B=∠C，最后根據(jù)SAS即可證明；

②因?yàn)?/span>VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根據(jù)全等得出CQ=BD=6，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)時(shí)間和CQ的長(zhǎng)即可求得Q的運(yùn)動(dòng)速度；

（2）因?yàn)?/span>VQ>VP，只能是點(diǎn)Q追上點(diǎn)P，即點(diǎn)Q比點(diǎn)P多走AB+AC的路程，據(jù)此列出方程，解這個(gè)方程即可求得.

解答：

(1)①∵t=1(秒)

∴BP=CQ=3(cm)

∵AB=12，D為AB中點(diǎn)

∴BD=6(cm)

又∵PC=BCBP=93=6(cm)

∴PC=BD

∵AB=AC

∴∠B=∠C

在△BPD與△CQP中，

∴△BPD≌△CQP(SAS)；

②∵VP≠VQ

∴BP≠CQ

又∵∠B=∠C

要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5(cm)，

∵△BPD≌△CPQ

∴CQ=BD=6(cm)

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，

此時(shí).

(2)因?yàn)?/span>VQ>VP，只能是點(diǎn)Q追上點(diǎn)P，即點(diǎn)Q比點(diǎn)P多走AB+AC的路程，

設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后P與Q第一次相遇，依題意得4x=3x+2×12，

解得x=24(秒)

此時(shí)P運(yùn)動(dòng)了24×3=72(cm)

又∵△ABC的周長(zhǎng)為33cm，72÷33=2余6，

∴點(diǎn)P、Q在BC邊上相遇，即經(jīng)過(guò)了24秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在BC邊上相遇。