【題目】如圖,△ABC的外接圓圓心O在AB上,點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DM⊥AB于M,交AC于N,且AC=CD.CP是△CDN的邊ND上的中線.
(1)求證:AB=DN;
(2)試判斷CP與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)若PC=5,CD=8,求線段MN的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)CP是⊙O的切線,證明見解析.(3).
【解析】
(1)由 AB為⊙O的直徑,∠ACB=90°=∠NCD ,再根據(jù)角的等量替換得出∠A =∠D
再根據(jù)AC=CD,可得△ABC≌△DNC,即可得到AB=DN ;(2)連結(jié)OC,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半,得到PC=PN=,再得到∠ACO+∠PCN =90°,故∠PCO =90°,即可證明;(3)先得到DN=2PC=10,再利用勾股定理計(jì)算出CN=6,由AC=CD=8得到AN-AC-CN=2,再利用sinA=,即可求出MN的長(zhǎng)度.
解:(1)證明:∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°=∠NCD
∵DM⊥AB,
∴∠AMN=90°,
∴∠ABC+∠A =∠ABC+∠D =90°
∴∠A =∠D
又∵AC=CD,∠ACB=∠NCD
∴△ABC≌△DNC
∴AB=DN
(2)CP是⊙O的切線.
證明:連結(jié)OC
∵CP是△CDN的邊ND上的中線,∠NCD=90°
∴PC=PN=
∴∠PCN =∠PNC
∵∠ANM=∠PNC
∴∠ANM=∠PCN
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∵∠A+∠ANM =90°
∴∠ACO+∠PCN =90°
∴∠PCO =90°
∴CP是⊙O的切線
(3)∵PC=5
∴DN=2PC=10
∵△ABC≌△DNC
∴CN=CB,AC=CD=8,AB=DN=10
∴
∴AN=AC-CN=2
∵sinA=
∴
∴
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的11×11網(wǎng)格中,已知點(diǎn)A(-3,-3),B(-1,-3),C(-1,-1)。
(1)畫出△ABC;
(2)畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱,并寫出各點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)以O為位似中心,在第一象限畫出將△ABC放大2倍后的。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A(﹣1,0),B(4,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,連接BC,點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l,交直線BC于點(diǎn)G,交x軸于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,當(dāng)P位于y軸右邊的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),過(guò)點(diǎn)C作CF⊥直線l,F為垂足,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),以P,C,F為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似,并直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在位于直線BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí), 連接PB,PC,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m, △PBC的面積為S,
①求出S與m的函數(shù)關(guān)系式;
②求出點(diǎn)P到直線BC的最大距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的兩根分別為-3和1;④a-2b+c>0.其中正確的命題是( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果的對(duì)角線相交于點(diǎn),那么在下列條件中,能判斷為菱形的是( )
A. ∠OAB=∠OBA B. ∠OAB=∠OBC
C. ∠OAB=∠OCD D. ∠OAB=∠OAD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于點(diǎn)E,AD⊥BC于點(diǎn)D,∠BAD=45°,AD與BE交于點(diǎn)F,連接CF.
(1)求證:BF=2AE;(2)若CD=1,求AD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知內(nèi)接于⊙O.
(1)當(dāng)點(diǎn)O與AB有怎樣的位置關(guān)系時(shí),∠ACB是直角.
(2)在滿足(1)的條件下,過(guò)點(diǎn)C作直線交AB于D,當(dāng)CD與AB有什么樣的關(guān)系時(shí),△ABC∽△CBD∽△ACD.請(qǐng)畫出符合(1)、(2)題意的兩個(gè)圖形后再作答.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC是一張等腰直角三角形紙板,∠C=90°,AC=BC=2,在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形稱為第1次剪取,記所得正方形面積為S1(如圖1);在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中,分別剪取一個(gè)盡可能大的正方形,得到兩個(gè)相同的正方形,稱為第2次剪取,并記這兩個(gè)正方形面積和為S2(如圖2);繼續(xù)操作下去…;第2019次剪取后,余下的所有小三角形的面積之和是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,,經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓交軸于點(diǎn)(在上方),則四邊形面積的最小值為__________.
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