【題目】已知,拋物線 y=x2+bx+c 與 y 軸交于點(diǎn) C,與 x 軸交于點(diǎn) A 和點(diǎn)B(其中點(diǎn) A 在 y 軸左側(cè),點(diǎn) B 在 y 軸右側(cè)),對(duì)稱軸直線 x=交 x 軸于點(diǎn) H.
(1)若拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣4,6),求拋物線的解析式;
(2)如圖1,∠ACB=90°,點(diǎn)P是拋物線y=x2+bx+c上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn),且 S△ABP=S△ABC,求點(diǎn) P 的坐標(biāo);
(3)如圖 2,過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BC交拋物線于點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣c, 求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2-x-8;(2)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(3,﹣2),(,2);(3)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是(7,9).
【解析】
(1)根據(jù)對(duì)稱軸和點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出函數(shù)的解析式;
(2)連接 CH,利用交點(diǎn)式和韋達(dá)定理求出CH2及AB2
, 在 Rt△OHC 中,由勾股定理求出c的值,再分情況討論即可.
(3)分別利用直線 BC和直線AC聯(lián)系二次函數(shù)解析式消去y得到兩個(gè)含k,c的方程,即可解出k,c的值,得出Q點(diǎn)坐標(biāo).
(1)∵拋物線 y=x2+bx+c 的對(duì)稱軸是直線 x=,
∴﹣=﹣b=,
∴b=﹣.
又拋物線 y= x2+bx+c 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣4,6),
∴6=×(﹣4)2﹣ ×(﹣4)+c, 解得 c=﹣8.
故該拋物線解析式是 y =x2﹣ x﹣8;
如圖 1,連接 CH,
∵對(duì)稱軸直線 x=交 x 軸于點(diǎn) H,
∴AH=BH,OH= . 又∵∠ACB=90°,
∴CH= AB,
設(shè) A,B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0),
則 x1,x2 是方程x2﹣ x+c=0 的兩根,
∴x1+x2=3,x1x2=2c,
∴AB2=(x2﹣x1)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=9﹣8c,
∴CH2= AB2= ﹣2c.
在 Rt△OHC 中,由勾股定理得:CH2=OH2+OC2,即:c2+2c=0, 解得:c=﹣2 或 c=0(舍去).
∵S△ABP=S△ABC,
∴|yP|=|yC|=2.
①當(dāng) yP=﹣2 時(shí),點(diǎn) P 與點(diǎn) C 關(guān)于直線 x=對(duì)稱,
∴P(3,﹣2).
②當(dāng) yP=2 時(shí),x2﹣ x﹣2=2, 解得:x=.
又∵點(diǎn) P 在 y 軸的右側(cè),
∴x= ,
∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( ,2).綜上所述,符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(3,﹣2),(,2).
如圖 2,設(shè)直線 BC 的解析式為:y=kx+c(k≠0),聯(lián)立直線 BC 與拋物線的解析式,得 ,
消去 y,得x2﹣ x+c=kx+c, 解得:xC=0,xB=3+2k,
由(2)知 xA+xB=3,
∴xA=3﹣xB,
∴xA=﹣2k.
把點(diǎn) B 的坐標(biāo)(3+2k,0)代入 y=kx+c,得 c=﹣k(3+2k)=﹣3k﹣2k2.
∵AQ∥BC,
則設(shè) AQ 的解析式為:y=kx+m(k≠0).聯(lián)立直線 AQ 與拋物線的解析式,得
消去 y,得x2﹣ x+c=kx+m,
設(shè)點(diǎn) A、Q 的橫坐標(biāo)分別為 xA、xQ, 則 xA+xQ=3+2k,
∵xA=﹣2k,
∴x
又∵yQ=﹣ c,c=﹣3k﹣2k2.
則有:﹣(﹣3k﹣2k2)=(3+4k)2﹣(3+4k)+(﹣3k﹣2k2),解得:k1=0(舍去),k2=1,
∴c=﹣3k﹣2k2=﹣5,
∴點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是(7,9).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為一工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源,待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算,未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理).當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí),月銷售量為45噸.該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn),準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí),月銷售量就會(huì)增加7.5噸.綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元.設(shè)每噸材料售價(jià)為x(元),該經(jīng)銷店的月利潤(rùn)為y(元).當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí),計(jì)算此時(shí)的月銷售量;
(1)求出 y 與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x 的取值范圍);
(2)該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn),售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元?
(3)小靜說(shuō):“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí),月銷售額也最大.”你認(rèn)為對(duì)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),,,…和,,,…分別在直線和軸上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,…都是等腰直角三角形,如果A1(1,1),A2(),那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)是_ _____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,O是AB的中點(diǎn),AC=6,∠MON=90°,將∠MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),OM、ON分別交邊AC于點(diǎn)D,交邊BC于點(diǎn)E(D、E不與A、B、C重合)
(1)判斷△ODE的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,四邊形CDOE的面積是否發(fā)生變化?若不改變,直接寫出這個(gè)值,若改變,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖2,DE的中點(diǎn)為G,CG的延長(zhǎng)線交AB于F,請(qǐng)直接寫出四邊形CDFE的面積S的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在國(guó)家政策的調(diào)控下,某市的商品房成交均價(jià)由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元.
(1)求6、7兩月平均每月降價(jià)的百分率;
(2)如果房?jī)r(jià)繼續(xù)回落,按此降價(jià)的百分率,請(qǐng)你預(yù)測(cè)到9月份該市的商品房成交均價(jià)是否會(huì)跌破每平方米6500元?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,PA 為⊙O 的切線,A 為切點(diǎn),過(guò) A 作弦 AB⊥OP,垂足為點(diǎn) C,延長(zhǎng)BO 與 PA 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D
(1) 求證:PB 為⊙O 的切線
(2) 若 OB=3,OD=5,求 PB 的長(zhǎng)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后,得到線段AB′,則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_(kāi)_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD為⊙O的直徑,AD=6,求弦DC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(3分)在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax2+bx與y=bx+a的圖象可能是( )
A. B. C. D.
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