Question

【題目】如圖，平面上存在點(diǎn)P、點(diǎn)M與線(xiàn)段AB．若線(xiàn)段AB上存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上，則稱(chēng)點(diǎn)M為點(diǎn)P與線(xiàn)段AB的共圓點(diǎn)．

已知點(diǎn)P（0，1），點(diǎn)A（﹣2，﹣1），點(diǎn)B（2，﹣1）．

（1）在點(diǎn)O（0，0），C（﹣2，1），D（3，0）中，可以成為點(diǎn)P與線(xiàn)段AB的共圓點(diǎn)的是　 　；

（2）點(diǎn)K為x軸上一點(diǎn)，若點(diǎn)K為點(diǎn)P與線(xiàn)段AB的共圓點(diǎn)，請(qǐng)求出點(diǎn)K橫坐標(biāo)xK的取值范圍；

（3）已知點(diǎn)M（m，﹣1），若直線(xiàn)y＝x+3上存在點(diǎn)P與線(xiàn)段AM的共圓點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C；（2）﹣1﹣≤xk≤1﹣或﹣1≤xk≤1+；（3）m≤3﹣2或m≥3+2．

【解析】

（1）由題意可知當(dāng)Q與A重合時(shí)，點(diǎn)C在以AP為直徑的圓上，所以可以成為點(diǎn)P與線(xiàn)段AB的共圓點(diǎn)的是C；

（2）根據(jù)題意由兩點(diǎn)的距離公式可得AP=BP=2，分別畫(huà)以AP和BP為直徑的圓交x軸于4個(gè)點(diǎn)：K1、K2、K3、K4，結(jié)合圖形2可得4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得結(jié)論；

（3）由題意先根據(jù)直線(xiàn)y=x+3，當(dāng)x=0和y=0計(jì)算與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，分兩種情況：M在A的左側(cè)和右側(cè)，先計(jì)算圓E與直線(xiàn)y=x+3相切時(shí)m的值，從而根據(jù)圖形可得結(jié)論．

解：（1）如圖1，可以成為點(diǎn)P與線(xiàn)段AB的共圓點(diǎn)的是C，

故答案為：C；

（2）∵P（0，1），點(diǎn)A（﹣2，﹣1），點(diǎn)B（2，﹣1）．

∴AP＝BP＝＝2，

如圖2，分別以PA、PB為直徑作圓，交x軸于點(diǎn)K1、K2、K3、K4，

∵OP＝OG＝1，OE∥AB，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝AG＝1，

∴K1（﹣1﹣，0），k2（1﹣，0），k3（﹣1，0），k4（1+，0），

∵點(diǎn)K為點(diǎn)P與線(xiàn)段AB的共圓點(diǎn)，

∴﹣1﹣≤xk≤1﹣或﹣1≤xk≤1+；

（3）分兩種情況：

①如圖3，當(dāng)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，Q為線(xiàn)段AM上一動(dòng)點(diǎn)，以PQ為直徑的圓E與直線(xiàn)y＝x+3相切于點(diǎn)F，連接EF，則EF⊥FH，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，當(dāng)y＝0時(shí)，y＝x+3＝0，x＝﹣6，

∴ON＝3，OH＝6，

∵tan∠EHF＝＝＝，

設(shè)EF＝a，則FH＝2a，EH＝a，

∴OE＝6﹣a，

Rt△OEP中，OP＝1，EP＝a，

由勾股定理得：EP2＝OP2+OE2，

∴，

解得：a＝（舍去）或，

∴QG＝2OE＝2（6﹣a）＝﹣3+2，

∴m≤3﹣2；

②如圖4，當(dāng)M在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，Q為線(xiàn)段AM上一動(dòng)點(diǎn)，以PQ為直徑的圓E與直線(xiàn)y＝x+3相切于點(diǎn)F，連接EF，則EF⊥FH，

同理得QG＝3+2，

∴m≥3+2，

綜上，m的取值范圍是m≤3﹣2或m≥3+2．