【題目】如圖,拋物線(a≠0)經過點A(4,﹣5),與x軸的負半軸交于點B,與y軸交于點C,且OC=5OB,拋物線的頂點為點D.
(1)求這條拋物線的表達式;
(2)聯(lián)結AB、BC、CD、DA,求四邊形ABCD的面積;
(3)如果點E在y軸的正半軸上,且∠BEO=∠ABC,求點E的坐標.
【答案】(1);(2)18;(3)E(0,).
【解析】
試題分析:(1)先得出C點坐標,再由OC=5BO,得出B點坐標,將A、B兩點坐標代入解析式求出a,b;
(2)分別算出△ABC和△ACD的面積,相加即得四邊形ABCD的面積;
(3)由∠BEO=∠ABC可知,tan∠BEO=tan∠ABC,過C作AB邊上的高CH,利用等面積法求出CH,從而算出tan∠ABC,而BO是已知的,從而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO長度,也就求出了E點坐標.
試題解析:(1)∵拋物線與y軸交于點C,∴C(0,﹣5),∴OC=5.
∵OC=5OB,∴OB=1,又點B在x軸的負半軸上,∴B(﹣1,0).
∵拋物線經過點A(4,﹣5)和點B(﹣1,0),∴,解得,∴這條拋物線的表達式為;
(2)由,得頂點D的坐標為(2,﹣9).連接AC,∵點A的坐標是(4,﹣5),點C的坐標是(0,﹣5),又S△ABC=×4×5=10,S△ACD=×4×4=8,∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=18;
(3)過點C作CH⊥AB,垂足為點H.
∵S△ABC=×AB×CH=10,AB=,∴CH=,在RT△BCH中,∠BHC=90°,BC=,BH==,∴tan∠CBH=.∵在RT△BOE中,∠BOE=90°,tan∠BEO=,∵∠BEO=∠ABC,∴=,得EO=,∴點E的坐標為(0,).
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【題目】春節(jié)期間上映的第一部中國科幻電影《流浪地球》,斬獲約4 670 000 000元票房,將4 670 000 000用科學記數法表示是( )
A. 4.67×1010B. 0.467×1010C. 0.467×109D. 4.67×109
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,點P的坐標為(,),點Q的坐標為(,),且,,若P,Q為某個矩形的兩個頂點,且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直,則稱該矩形為點P,Q的“相關矩形”.下圖為點P,Q 的“相關矩形”的示意圖.
(1)已知點A的坐標為(1,0).
①若點B的坐標為(3,1)求點A,B的“相關矩形”的面積;
②點C在直線x=3上,若點A,C的“相關矩形”為正方形,求直線AC的表達式;
(2)⊙O的半徑為,點M的坐標為(m,3).若在⊙O上存在一點N,使得點M,N的“相關矩形”為正方形,求m的取值范圍.
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【題目】課本的作業(yè)題中有這樣一道題:把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀,分成3張小紙片,使每張小紙片都是等腰三角形,你能辦到嗎?請畫示意圖說明剪法.
我們有多少種剪法,圖1是其中的一種方法:
定義:如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形,我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線.
(1)請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線,并標注每個等腰三角形頂角的度數;(若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形,則視為同一種)
(2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分線,點D在BC邊上,點E在AC邊上,且AD=BD,DE=CE,設∠C=x°,試畫出示意圖,并求出x所有可能的值.
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【題目】如圖,拋物線與x軸交于點A,點B,與y軸交于點C,點D與點C關于x軸對稱,點P是x軸上的一個動點,設點P的坐標為(m,0),過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.
(1)求點A、點B、點C的坐標;
(2)求直線BD的解析式;
(3)當點P在線段OB上運動時,直線l交BD于點M,試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形;
(4)在點P的運動過程中,是否存在點Q,使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】((2016四川省涼山州)閱讀下列材料并回答問題:
材料1:如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c,記,那么三角形的面積為. ①
古希臘幾何學家海倫(Heron,約公元50年),在數學史上以解決幾何測量問題而聞名.他在《度量》一書中,給出了公式①和它的證明,這一公式稱海倫公式.
我國南宋數學家秦九韶(約1202﹣﹣約1261),曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式:. ②
下面我們對公式②進行變形:
.
這說明海倫公式與秦九韶公式實質上是同一公式,所以我們也稱①為海倫﹣﹣秦九韶公式.
問題:如圖,在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=7,⊙O內切于△ABC,切點分別是D、E、F.
(1)求△ABC的面積;
(2)求⊙O的半徑.
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