Question

（本小題滿分14分）如圖9，在直角坐標(biāo)系xoy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x正半軸上，OA=cm，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OA以cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開(kāi)始沿BO以2cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng).如果P、Q、R分別從O、A、B同時(shí)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜6）s.

（1）求∠OAB的度數(shù).
（2）以O(shè)B為直徑的⊙O‘與AB交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，PM與⊙O‘相切？
（3）寫(xiě)出△PQR的面積S隨動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求s的最小值及相應(yīng)的t值.
（4）是否存在△APQ為等腰三角形，若存在，求出相應(yīng)的t值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）∠OAB=30°
（2）t=3時(shí)，PM與⊙O‘相切
（3）
（4）當(dāng)t=2，t=3.6，t=-18時(shí)，△APQ是等腰三角形.

解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=
∴∠OAB=30°
（2）如圖10，連接O‘P，O‘M. 當(dāng)PM與⊙O‘相切時(shí)，有∠PM O‘=∠PO O‘=90°，
△PM O‘≌△PO O‘

由（1）知∠OBA=60°
∵O‘M= O‘B
∴△O‘BM是等邊三角形
∴∠B O‘M=60°可得∠O O‘P=∠M O‘P=60°
∴OP=" O" O‘·tan∠O O‘P =6×tan60°=
又∵OP=t
∴t=，t=3
即：t=3時(shí)，PM與⊙O‘相切.
（3）如圖9，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x于點(diǎn)E
∵∠BAO=30°，AQ=4t
∴QE=AQ=2t
AE=AQ·cos∠OAB=4t×
∴OE=OA-AE=-t
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-t，2t）
S△PQR= S△OAB -S△OPR -S△APQ -S△BRQ
=
=
=  （）
當(dāng)t=3時(shí)，S△PQR最小=
（4）分三種情況：如圖11.

1當(dāng)AP=AQ1=4t時(shí)，
∵OP+AP=
∴t+4t=
∴t=
或化簡(jiǎn)為t=-18
2當(dāng)PQ2=AQ2=4t時(shí)
過(guò)Q2點(diǎn)作Q2D⊥x軸于點(diǎn)D，
∴PA="2AD=2A" Q2·cosA=t
即t+t =
∴t=2
3當(dāng)PA=PQ3時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H
AH=PA·cos30°=（-t）·=18-3t
AQ3=2AH=36-6t
得36-6t=4t，
∴t=3.6
綜上所述，當(dāng)t=2，t=3.6，t=-18時(shí)，△APQ是等腰三角形.