Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AB=5，AD=8，CD=3，線段AD上有一動(dòng)點(diǎn)E，以E點(diǎn)為圓心，作一個(gè)圓E與線段AB相切于點(diǎn)F，
（1）求sinA的值；
（2）若設(shè)DE=x，EF=y，試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍；
（3）當(dāng)△AEF與△CED相似時(shí)，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）首先過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，易證得四邊形BCDH是矩形，即可求得BH的值，然后由sinA=

BH

AB

，即可求得答案；
（2）由DE=x，AD=8，即可求得AE的長，又由⊙E與AB相切于F點(diǎn)，即可得sinA=

EF

AE

，又由（1）可得

y

8-x

=

3

5

，繼而求得y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍；
（3）分別從△AEF∽△CED與△AEF與△ECD去分析，根據(jù)三條對(duì)應(yīng)邊的比相等的三角形相似，即可求得答案．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，
∵AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠BHD=∠D=∠DCB=90°，
∴四邊形BCDH是矩形，
∴BH=CD=3，
∴sinA=

BH

AB

=

3

5

；（2分）

（2）∵DE=x，AD=8，
∴AE=8-x，
∵⊙E與AB相切于F點(diǎn)，
∴∠AFE=90°，
∴sinA=

EF

AE

，
即

y

8-x

=

3

5

，
∴y=

24-3x

5

（4分），
其中定義域?yàn)?span id="7d7csbo" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

7

4

≤x＜8；（（1分）

（3）當(dāng)△AEF∽△CED相似時(shí)，

AE

CE

=

EF

ED

=

AF

CD

，
即

8-x

9+x2

=

3 5 (8-x)

x

=

4 5 (8-x)

3

，
解得x=

9

4

，（2分）
當(dāng)△AEF∽△ECD相似時(shí)，

AE

EC

=

EF

CD

=

AF

ED

，
即

8-x

9+x2

=

3 5 (8-x)

3

=

4 5 (8-x)

x

，
解得x=4．（2分）
∴DE的長為

9

4

或4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)以及圓的切線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．