【題目】如圖所示,將二次函數(shù)y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折,然后向右平移1個單位,再向上平移5個單位,得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象.函數(shù)y=x2+2x+1的圖象的頂點為點A.函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點為點C,兩函數(shù)圖象分別交于B、D兩點.
(1)求函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式;
(2)如圖2,連接AD、CD、BC、AB,判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由.
(3)如圖3,連接BD,點M是y軸上的動點,在平面內(nèi)是否存在一點N,使以B、D、M、N為頂點的四邊形為矩形?若存在,請求出N點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+5;(2)四邊形ABCD是平行四邊形,理由見解析;(3)存在,點N坐標(biāo)為(,)或(,)或(3,2)或(﹣3,2).
【解析】
(1)由軸對稱和平移的性質(zhì)可求解;
(2)分別求出點A,點B,點C,點D坐標(biāo),由兩點距離公式可求AB,CD,AD,BC,AC,BD的長,由兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形可證四邊形ABCD是平行四邊形;
(3)分兩種情況討論,利用矩形的性質(zhì),可求解.
(1)∵y=x2+2x+1=(x+1)2,且將二次函數(shù)y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折,然后向右平移1個單位,再向上平移5個單位,
∴y=﹣(x+1﹣1)2+5=﹣x2+5;
(2)四邊形ABCD是平行四邊形,理由如下:
∵y=﹣x2+5的頂點為點C,
∴點C的坐標(biāo)為(0,5).
∵函數(shù)y=x2+2x+1的圖象的頂點為點A,
∴點A(﹣1,0),
聯(lián)立方程組可得:,
∴ 或 ,
∴點D的坐標(biāo)為(﹣2,1),點B的坐標(biāo)為(1,4).
∵點D(﹣2,1),點B(1,4),點A(﹣1,0),點C(0,5),
∴,
同理可求得:CD=,AD=,BC=,AC=,BD=3,
∴AB=CD,AD=BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形;
(3)存在,
設(shè)點N(x,y)
若BD為矩形的邊,四邊形BDMN是矩形時.
∵點D的坐標(biāo)為(﹣2,1),點B的坐標(biāo)為(1,4),
設(shè)直線BD解析式為:,
∴,
解得:,
∴直線BD解析式為:y=x+3,
∵DM⊥BD,
∴設(shè)直線DM的解析式為,
將點D的坐標(biāo)為(﹣2,1)代入得:,
解得:,
∴直線DM的解析式為y=﹣x﹣1,
∴點M的坐標(biāo)為(0,﹣1).
∵BM與DN互相平分,
∴,,
∴x=3,y=2,
∴點N的坐標(biāo)為(3,2);
若BD為矩形的邊,四邊形BDNM是矩形時.
∵點D的坐標(biāo)為(﹣2,1),點B的坐標(biāo)為(1,4),直線BD解析式為:y=x+3,
∵BM⊥BD,
∴設(shè)直線BM的解析式為,
將點B的坐標(biāo)為(1,4)代入得:,
解得:,
∴直線BM的解析式為y=﹣x+5,
∴點M的坐標(biāo)為(0,5).
∵BN與DM互相平分,
∴,,
∴x=﹣3,y=2,
∴點N的坐標(biāo)為(﹣3,2);
若BD為對角線.
∵點D、B、N的坐標(biāo)分別為(﹣2,1), (1,4), (x,y),
點M的橫坐標(biāo)為0,設(shè)點M的縱坐標(biāo)為,
∵BD與MN互相平分,
∴,,
∴,,
點N的坐標(biāo)為(,),點M的坐標(biāo)為(0,5﹣y),
∵BD=MN,
∴
整理得:
解得:,
∴點N的坐標(biāo)為(,)或(,),
綜上所述:點N坐標(biāo)為(,)或(,)或(3,2)或(﹣3,2).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校對交通法則的了解情況在全校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生,調(diào)查結(jié)果分為四種:.非常了解,.比較了解,.基本了解,.不太了解,并將此次調(diào)查結(jié)果整理繪制成下面不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.
(1)本次共調(diào)查_______名學(xué)生;扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是_______;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)學(xué)校準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生參加市區(qū)交通法規(guī)競賽,請用列表或畫樹狀圖的方法求甲和乙兩名學(xué)生同時被選中的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校七年級10個班的300名學(xué)生即將參加學(xué)校舉行的研究旅行活動,學(xué)校提出以下4個活動主題:A.赤水丹霞地貌考察;B.平塘天文知識考察;C.山關(guān)紅色文化考察;D.海龍電土司文化考察,為了解學(xué)生喜歡的活動主題,學(xué)生會開展了一次調(diào)查研究,請將下面的過程補(bǔ)全
(1)收集數(shù)據(jù):學(xué)生會計劃調(diào)查學(xué)生喜歡的活動主題情況,下面抽樣調(diào)查的對象選擇合理的是______.(填序號)
①選擇七年級3班、4班、5班學(xué)生作為調(diào)查對象
②選擇學(xué)校旅游攝影社團(tuán)的學(xué)生作為調(diào)查對象
③選擇各班學(xué)號為6的倍數(shù)的學(xué)生作為調(diào)查對象
(2)整理、描述數(shù)據(jù):通過調(diào)査后,學(xué)生會同學(xué)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請把統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整
某校七年級學(xué)生喜歡的活動主題條形統(tǒng)計圖某校七年級學(xué)生喜歡的活動主題扇形統(tǒng)計圖
(3)分析數(shù)據(jù)、推斷結(jié)論:請你根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果向?qū)W校推薦本次活動的主題,你的推薦是______(填A-D的字母代號),估算全年級大約有多少名學(xué)生喜歡這個主題活動
(4)若在5名學(xué)生會干部(3男2女)中,隨機(jī)選取2名同學(xué)擔(dān)任活動的組長和副組長,求抽出的兩名同學(xué)恰好是1男1女的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)經(jīng)過點;
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)點在軸的正半軸上,點在軸的正半軸上,直線經(jīng)過點,直線交反比例函數(shù)圖象于另一點,若,求點的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A(-5,0),以OA為半徑作半圓,點C是第一象限內(nèi)圓周上一動點,連結(jié)AC、BC,并延長BC至點D,使CD=BC,過點D作x軸垂線,分別交x軸、直線AC于點E、F,點E為垂足,連結(jié)OF.
(1)當(dāng)∠BAC=30時,求△ABC的面積;
(2)當(dāng)DE=8時,求線段EF的長;
(3)在點C運動過程中,是否存在以點E、O、F為頂點的三角形與△ABC相似,若存在,請求出點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,,,點為邊上的動點(點不與點,重合).以為頂點作,射線交邊于點,過點作交射線于點,連接.
(1)求證:;
(2)當(dāng)時(如圖2),求的長;
(3)點在邊上運動的過程中,是否存在某個位置,使得?若存在,求出此時的長;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知內(nèi)接于圓,點為弧上一點,連接交于點,.
(1)如圖1,求證:弧弧;
(2)如圖2,過作于點,交圓點,連接交于點,且,求的度數(shù);
(3)如圖3,在(2)的條件下,圓上一點與點關(guān)于對稱,連接,交于點,點為弧上一點,交于點,交的延長線于點,,的周長為20,,求圓半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC內(nèi)接于⊙O,直徑AD交BC于點E,延長AD至點F,使DF=2OD,連接FC并延長交過點A的切線于點G,且滿足AG∥BC,連接OC,若cos∠BAC=,BC=8.
(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)求⊙O的半徑OC;
(3)如圖2,⊙O的弦AH經(jīng)過半徑OC的中點F,連結(jié)BH交弦CD于點M,連結(jié)FM,試求出FM的長和△AOF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形的邊在軸上,點的坐標(biāo)為,點是對角線上的一個動點,點在軸上,當(dāng)最短時,點的坐標(biāo)為______.
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