Question

如圖15.1，已知拋物線C經(jīng)過原點(diǎn)，對稱軸x=-3與拋物線相交于第三象限的點(diǎn)M，與x軸相交于點(diǎn)N，且tan∠MON = 3.

(1)求拋物線C的解析式；

(2)將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180º得到拋物線C’，拋物線C’與x軸的另一交點(diǎn)為A，B為拋物線C’上橫向坐標(biāo)為2的點(diǎn).

①若P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，PD⊥y軸于點(diǎn)D，求△APD面積的最大值；

②過線段OA上的兩點(diǎn)E、F分別作x軸的垂線，交折線 O –B -A于點(diǎn)E₁、F₁，再分別以線段EE₁、FF₁為邊作如圖15.2所示的等邊△EE₁E₂、等邊△FF₁F₂,點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△EE₁E₂有一邊與△FF₁F₂的某一邊在同一直線上時(shí)，求時(shí)間t的值.

Answer 1

解：（1）對稱軸MN的解析式為x =-3, ON=3,tan∠MON = 3 ,MN=9,M（-3，-9），

令拋物線C的解析式為y=a(x+3)²-9，它經(jīng)過原點(diǎn)，則0=a(0+3)²-9, a=1,

y=1(x+3)²-9=x²+6x ，所以拋物線C的解析式為y=x²+6x；

（2）①拋物線C’的解析式為

y=- x²+6x，當(dāng)y=0時(shí)，x=0或6，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）， 點(diǎn)B在拋物線C’上，且其橫坐標(biāo)為2，y=8,有點(diǎn)B（2，8），直線AB的解析式為

y=-2x +12 ,點(diǎn)P在線段AB上，令點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p,-2p+12）,

S_△APD = p(-2p+12)=- p²+6p =-(p-3)²+9,當(dāng)p=3（2<3<8）時(shí)，

S_△APD 的max值為9；

② 據(jù)（2）①知，直線OB解析式為y=4x,

直線AB解析式為y=-2x +12；

如圖15.3, ∵EE₁//FF₁, △EE₁E₂、△FF₁F₂是等邊三角形，∴E₁E₂//FF₂，EE₂//F₁F₂，

直線EE₁的解析式為x=t,直線FF₁的解析式為x=6-t,令E₁ (t,y)則有E（t,0）、

E₂ (t+ ,)，設(shè)直線EE₂的解析式為

y=x + a,直線F₁F₂的解析式為y= x + b,直線E₁E₂的解析式

為y=- x + c,直線FF₂的解析式為y=- x + d，

Ⅰ、當(dāng)EE₁與FF₁在同一直線上時(shí)，x=t=6-t，t=3 ；

Ⅱ、當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)E₁在直線OB上，點(diǎn)F₁在直線AB上，有E（t,0）、E₁ (t,4t)、F (6-t,0)、F₁（6-t,2t）

(a)當(dāng)EE₂與F₁F₂在同一直線上時(shí)，有0 = t + a，a=- t,

2t= (6-t) + b, b= (2+ )t-2, a=b, - t=(2+ )t-2,

t= ；

(b) 當(dāng)E₁E₂與FF₂在同一直線上時(shí)，有4t=- t + c，c=(4+ )t,

0=- (6-t) + d, d=2- t, c=d, (4+ )t = 2 - t,

t= ；

通過作圖觀察可知，當(dāng)2<t≤6時(shí)，EE₁與FF₁不可能在同一直線上，E₁E₂與FF₂也不可能在同一直線上。

綜上所述，當(dāng)△EE₁E₂有一邊與△FF₁F₂的某一邊在同一直線上時(shí)，t的值為3，或 .

下面的討論旨在說明2< t≤6時(shí)，EE₁與FF₁、E₁E₂與FF₂的位置關(guān)系，答題時(shí)可以省去。

[ Ⅲ、當(dāng)2 <t≤4時(shí)，點(diǎn)E₁在直線AB上，點(diǎn)F₁在直線AB上，有E（t,0）、E₁ (t,-2t+12)、F (6-t,0)、F₁（6-t,2t）

(a)當(dāng)EE₂與F₁F₂在同一直線上時(shí)，有0 = t + a，a=- t,

2t= (6-t) + b, b= (2+ )t-2, a=b, - t=(2+ )t-2,

t= （< 2，舍去）；

(b) 當(dāng)E₁E₂與FF₂在同一直線上時(shí)，有-2t+12=- t + c，c=(-2)t+12,

0=- (6-t) + d, d=2- t, c=d, (-2)t+12 = 2 - t,

t= (>4,舍去)；

 Ⅳ、當(dāng)4<t≤6時(shí)，點(diǎn)E₁在直線AB上，點(diǎn)F₁在直線OB上，有E（t,0）、E₁ (t,-2t+12)、F (6-t,0)、F₁（6-t,24-4t），

(a)當(dāng)EE₂與F₁F₂在同一直線上時(shí)，有0= t + a, a=- t,

 24-4t= (6-t) + b, b=24-2+ t-4t,a=b,

- t=24-2+ t-4t, t= (>6,舍去)；

(b) 當(dāng)E₁E₂與FF₂在同一直線上時(shí)，有-2t+12=- t + c, c=12+ t-2t, 0=- (6-t) + d , d=2- t , c = d,

12+ t-2t=2- t ,t= (>6,舍去)；

綜上所述，當(dāng)△EE₁E₂有一邊與△FF₁F₂的某一邊在同一直線上時(shí)，

t的值為3，或 .  ]