Question

如下圖所示，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(n，0)是x軸上一動點(diǎn)(n＜0)．以AO為一邊作矩形AOBC，使OB＝2OA，點(diǎn)C在第二象限．將矩形AOBC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得矩形AGDE．過點(diǎn)A的直線y＝kx＋m(k≠0)交y軸于點(diǎn)F，F(xiàn)B＝FA．拋物線y＝ax²＋bx＋c過點(diǎn)E，F(xiàn)，G且和直線AF交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)M．

(1)求k的值；

(2)點(diǎn)A位置改變時，△AMH的面積和矩形AOBC的面積比是否改變？說明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)根據(jù)題意，得B(0，－2n)，當(dāng)x＝0時，y＝kx＋m＝m，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，m)．而FB＝－2n－m，在Rt△AOF中，由勾股定理得，m2＋n2＝(－2n－m)2．化簡得m＝－0.75n，由于y＝kx－0.75n過點(diǎn)A(n，0)，∴0＝kn－0.75n，∴k＝0.75． 　　(2)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c過點(diǎn)E(3n，0)，點(diǎn)F(0，－0.75n)，點(diǎn)G(n，－n)，代入解析式得y＝x2－x－n．與直線組成方程組，解得H(5n，3n)，HM＝－3n，AM＝－4n，∴△AMH的面積為6n2，而矩形AOBC的面積為2n2，∴△AMH的面積與矩形AOBC的面積的比為3，不隨著點(diǎn)A位置的改變而改變．

提示：

本題是一個綜合性較強(qiáng)的題目，探索變化過程中的不變量，關(guān)鍵是將點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)n來表示，進(jìn)而將線段用參數(shù)n表示，注意表示過程中n＜0這一條件．