【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B(2,0)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,8).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若將該拋物線向下平移m個單位長度,使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部(不包括△ABC的邊界),求m的取值范圍;
(3)已知點(diǎn)Q在x軸上,點(diǎn)P在拋物線上,是否存在以A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+8;(2)3<m<9;(3)滿足條件的點(diǎn)Q為(﹣2,0)或(﹣6,0)或(3+,0)或(3﹣,0).
【解析】試題分析:(1)把點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組,從而可求得b、c的值,然后可得到拋物線的解析式;
(2)平移后拋物線的解析式為y=﹣(x+1)2+9﹣m,然后求得直線AC的解析式y(tǒng)=2x+8,當(dāng)x=﹣1時,y=6,最后由拋物線的頂點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部可得到0<9﹣m<6,從而可求得m的取值范圍;
(3)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)P(x,y).分為AC為對角線、CP為對角線、AQ為對角線三種情況,依據(jù)平行四邊形對角相互平分的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得x、y的值(用a的式子表示),然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值,從而可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).
試題解析:(1)把點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得: ,解得: ,
∴y=﹣x2﹣2x+8.
(2)y=﹣x2﹣2x+8=﹣(x+1)2+9,
∴平移后拋物線的解析式為y=﹣(x+1)2+9﹣m.
∵拋物線的對稱軸為x=﹣1,點(diǎn)B(2,0),
∴A(﹣4,0).
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+8,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得:﹣4k+8=0,解得k=2,
∴直線AC解析式為y=2x+8.
當(dāng)x=﹣1時,y=6.
∵拋物線的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部,
∴0<9﹣m<6.
∴3<m<9.
(3)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)P(x,y).
①當(dāng)AC為對角線時.
∵四邊形APCQ為平行四邊形,
∴AC與PQ互相平分.
依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知: = , .
∴x=﹣4﹣a,y=8.
∵點(diǎn)P在拋物線上,
∴﹣(a+4)2﹣2(﹣4﹣a)=0,解得:a=﹣2或a=﹣4(舍去)
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,0).
②當(dāng)CP為對角線時,
∵四邊形APCQ為平行四邊形,
∴CP與AQ互相平分.
依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知: , ,
∴x=a+4,y=8.
∵點(diǎn)P在拋物線上,
∴﹣(a+4)2﹣2(a+4)=0,解得:a=﹣6或a=﹣4(舍去)
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣6,0).
③AQ為對角線時.
∵四邊形APCQ為平行四邊形,
∴AQ與CP互相平分.
依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知: , ,
∴x=﹣4+a,y=﹣8.
∵點(diǎn)P在拋物線上,
∴﹣(a﹣4)2﹣2(a﹣4)+16=0,整理得:a2﹣6a﹣8=0,解得:a=3+或a=3﹣.
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3+,0)或(3﹣,0).
綜上所述滿足條件的點(diǎn)Q為(﹣2,0)或(﹣6,0)或(3+,0)或(3﹣,0).
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【題目】某班同學(xué)響應(yīng)“陽光體育運(yùn)動”號召,利用課外活動積極參加體育鍛煉,每位同學(xué)從長跑、鉛球、立定跳遠(yuǎn)、籃球定時定點(diǎn)投籃中任選一項(xiàng)進(jìn)行了訓(xùn)練,訓(xùn)練前后都進(jìn)行了測試,現(xiàn)將項(xiàng)目選擇情況及訓(xùn)練后籃球定時定點(diǎn)投籃進(jìn)球數(shù)(每人投10次)進(jìn)行整理,作出如下統(tǒng)計圖表.
進(jìn)球數(shù)(個) | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 |
人數(shù) | 2 | 1 | 4 | 7 | 8 | 2 |
請你根據(jù)圖表中的信息回答下列問題:
(1)訓(xùn)練后籃球定時定點(diǎn)投籃人均進(jìn)球數(shù)為 個;進(jìn)球數(shù)的中位數(shù)為 個,眾數(shù)為 個;
(2)該班共有多少學(xué)生;
(3)根據(jù)測試資料,參加籃球定時定點(diǎn)投籃的學(xué)生訓(xùn)練后比訓(xùn)練前的人均進(jìn)球增加了20%,求參加訓(xùn)練之前的人均進(jìn)球數(shù)(保留一位小數(shù)).
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【題目】在直線l上依次擺放著七個正方形(如圖所示),已知斜放置的三個正方形的面積分別是1,2,3,正放置的四個正方形的面積依次是S1 , S2 , S3 , S4 , 則S1 + S2 +S3 +S4 = .
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【題目】高鐵的開通,給N市市民出行帶來了極大的方便,“元旦”期間,甲、乙兩人應(yīng)邀到A市的藝術(shù)館參加演出,甲乘私家車從N市出發(fā)1小時后,乙乘坐高鐵從N市出發(fā),先到A市火車站,然后再轉(zhuǎn)乘出租車到A市的藝術(shù)館(換車時間忽略不計),兩人恰好同時到達(dá)A市的藝術(shù)館,他們離開N市的距離y(千米)與乘車時間x(小時)的關(guān)系如圖所示,請結(jié)合圖象解答下列問題:
(1)高鐵的平均速度是每小時多少千米?
(2)分別求甲、乙(乘坐高鐵時)兩人離開N市的距離y與乘車時間x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若甲要提前30分鐘到達(dá)藝術(shù)館,那么私家車的速度必須達(dá)到多少千米/小時?
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【題目】如圖,輪船在A處觀測燈塔C位于北偏西70°方向上,輪船從A處以每小時20海里的速度沿南偏西50°方向勻速航行,1小時后到達(dá)碼頭B處,此時,觀測燈塔C位于北偏西25°方向上,則燈塔C與碼頭B的距離是( 。
A. 10海里 B. 10 海里 C. 10海里 D. 20海里
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