Question

(2006，長(zhǎng)沙)如圖1，已知直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求線段A、B的垂直平分線的解析式；

(3)如圖2，取與線段AB等長(zhǎng)的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在A、B兩處．用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P將與A、B構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形?如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)解：依題意得 解之得　　 ∴A(6，－3)、B(－4，2)； (2)作AB的垂直平分線交x軸，y軸于C、D兩點(diǎn)，交AB于M(如圖1)． 由(1)可知，， ∴，∴． 過(guò)B作BE⊥x軸，E為垂足． 由△BEO∽△OCM，得，， 同理，∴、． 設(shè)CD的解析式為y=kx＋b(k≠0)， ∴　　∴ ∴AB的垂直平分線的解析式為； 　 (3)若存在點(diǎn)P使△APB的面積最大，則點(diǎn)P在與直線AB平行且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線上，并設(shè)該直線與x軸，y軸交于G、H兩點(diǎn)(如圖2)． ∴ ∴． ∵拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)， ∴， ∴，∴． ∴直線GH的解析式為， ∴，，∴． 設(shè)O到GH的距離為d， ∴， ∴，∴． ∵AB∥GH， ∴P到AB的距離等于O到GH的距離d， ∴．