Question

如圖，⊙O和⊙O₁分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓，兩圓的半徑分別為6和2，連接AO₁并延長交⊙O于D，則AO₁•O₁D的值為（　　）

• A、24
• B、12
• C、16
• D、20

Answer 1

分析：過D作圓O的直徑DQ，連接QC、DC、O₁E、BO₁、BD，由圓周角定理求出∠DEC=∠DAC，∠DCQ=90°，證△AO₁E∽△QDC，得到

AO1

DQ

=

O1E

DC

，求出AO₁•DC=24，根據(jù)三角形的內(nèi)切圓和三角形的外角性質(zhì)推出∠DBO₁=∠BO₁D，推出O₁D=BD=CD，即可求出答案．

解答：解：過D作圓O的直徑DQ，連接QC、DC、O₁E、BO₁、BD，
∠DEC=∠DAC，∠DCQ=90°，
∵O₁E⊥AC，
∴∠AEO₁=90°=∠DQC，
∴△AO₁E∽△QDC，
∴

AO1

DQ

=

O1E

DC

，
AO₁•DC=2×（6+6）=24，
∵圓O₁是△ABC的內(nèi)切圓，
∴∠BAD=∠DAC，∠ABO₁=∠CBO₁，弧BD=弧CD，
∴∠DBO₁=∠BO₁D，DB=CD，
∴O₁D=BD=CD，
∴AO₁•O₁D=24，
故選A．

點評：本題主要考查對三角形的外角性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外接圓與外心，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等腰三角形的判定等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．