Question

已知拋物線．

（1）求證：無論為任何實(shí)數(shù)，拋物線與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）若A、B是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式和的值；

（3）若反比例函數(shù)的圖象與（2）中的拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且滿足2<<3，求k的取值范圍．

Answer 1

（2），（3）5＜k＜18

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的圖像與性質(zhì)可知其與x軸交點(diǎn)的判定條件是，因此可由判別式得證結(jié)果；

（2）根據(jù)題意可求得拋物線的對(duì)稱軸，且有A，B的點(diǎn)可判斷它們是對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可求出m的值，求得拋物線的解析式，然后把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可求得n的值；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的增減性以及反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，可以判斷出兩函數(shù)之間的大小關(guān)系，構(gòu)成不等式，從而解出k的取值范圍．

試題解析：（1）證明：令．

得．

不論m為任何實(shí)數(shù)，都有（m－1）2＋3＞0，即△＞0．

∴不論m為任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）【解析】
拋物線的對(duì)稱軸為

∵拋物線上兩個(gè)不同點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相同，

∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則．

∴．

∴拋物線的解析式為．

∵A在拋物線上，

∴．

化簡，得．

∴ ．

（3）當(dāng)2<<3時(shí)，對(duì)于，y隨著x的增大而增大，

對(duì)于，y隨著x的增大而減小．

所以當(dāng)時(shí)，由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方，得＞，

解得k＞5．

當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，得＞，

解得k＜18．

所以k的取值范圍為5＜k＜18．

考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)綜合題