Question

【題目】對于任意一個自然數(shù)，如果的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是一個整數(shù)的平方，那么稱為“方數(shù)”，例如，自然數(shù)32587各位數(shù)字之和是，所以32587就是一個“方數(shù)”；對于任意一個自然數(shù)，如果是一個整數(shù)的立方，那么稱為“立方數(shù)”，例如，，所以8是一個立方數(shù)．

（1）判斷9999是不是方數(shù)？729是不是立方數(shù)？

（2）若一個兩位數(shù)各位數(shù)字之和是一個“立方數(shù)”，并且各位數(shù)字相差4，請求出這個兩位數(shù)；

（3）若自然數(shù)既是“方數(shù)”又是“立方數(shù)”，則稱為完美數(shù)，請直接寫出小于1000的自然數(shù)中的所有完美數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）9999是方數(shù)，729是立方數(shù)；（2）62或26.（3）27，216.

【解析】

（1）根據(jù)“方數(shù)”和“立方數(shù)”的定義直接判斷即可；

（2）首先判斷出兩位數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之和的范圍，在此范圍內(nèi)判斷出立方數(shù)，由此可計算出數(shù)位上各數(shù)字即可解決問題；

（3）首先判斷出1000之內(nèi)的立方數(shù)，再判斷出這些立方數(shù)中的方數(shù)即可解決問題.

（1）∵9+9+9+9=36=62，

∴9999是一個“方數(shù)”；

∵729=93，

∴729是一個“立方數(shù)”.

（2）可設(shè)x，y是一個兩位數(shù)十位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字（x，y均為整數(shù)），則：1≤x≤9，1≤y≤9，

∴2≤x+y≤18，

∵2與18之間的立方數(shù)只有8，

∴x+y=8，

∵x-y=4或y-x=4，

∴或

解得或，

所以，這個兩位數(shù)是62或26.

（2）小于1000的立方數(shù)有：8，27，64，125，216，343，512，729，

∴27各數(shù)位上數(shù)字和=2+7=9=32，

∴27是“方數(shù)”；

216各數(shù)位上數(shù)字和=2+1+6=9=32，

∴216是“方數(shù)”；

∴小于1000的“完美數(shù)”是27，216.