Question

某商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)某型號(hào)的螺絲、螺母進(jìn)行銷(xiāo)售，有關(guān)信息如下表：

	原進(jìn)價(jià)（元/個(gè)）	零售價(jià)（元/個(gè)）	成套售價(jià)（元/套）
螺絲	a	1.0	2.0
螺母	a-0.3	0.6	2.0

（1）已知用50元購(gòu)進(jìn)螺絲的數(shù)量與用20元購(gòu)進(jìn)螺母的數(shù)量相同，求表中a的值；
（2）若該店購(gòu)進(jìn)螺母數(shù)量是螺絲數(shù)量的3倍還多200個(gè)，且兩種配件的總量不超過(guò)3000個(gè)．
①該店計(jì)劃將一半的螺絲配套（一個(gè)螺絲和兩個(gè)螺母配成一套）銷(xiāo)售，其余螺絲、螺母以零售方式銷(xiāo)售．請(qǐng)問(wèn)：怎樣進(jìn)貨，才能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？（用含a的代數(shù)式表示）
②由于原材料價(jià)格上漲，每個(gè)螺絲和螺母的進(jìn)價(jià)都上漲了0.1元．按照①中的最佳進(jìn)貨方案，在銷(xiāo)售價(jià)不變的情況下，全部售出后，所得利潤(rùn)比①少了260元，請(qǐng)問(wèn)本次成套的銷(xiāo)售量為多少？

Answer 1

（1）依題意得

50

a

=

20

a-0.3

（2分）a=0.5（3分）
經(jīng)檢驗(yàn)：a=0.5是原方程的解，且符合題意．（4分）

（2）①設(shè)購(gòu)進(jìn)螺絲x個(gè)，則購(gòu)進(jìn)螺母（3x+200）個(gè)，依題意得
x+（3x+200）≤3000，
x≤700（5分）
則成套的賣(mài)出時(shí)利潤(rùn)為：

1

2

x[2-a-2（a-0.3）]元；單個(gè)螺絲的利潤(rùn)為：

1

2

x（1-a）；單個(gè)螺母的利潤(rùn)為：（3x+200-x）[0.6-（a-0.3）]，
設(shè)利潤(rùn)為y元，則y=

1

2

x[2-a-2(a-0.3)]+

1

2

x(1-a)+(3x+200-x)[0.6-(a-0.3)]，
=（3.6-4a）x+（180-200a）（6分）
解法一：
由已知得

a＜1 a-0.3＜0.6

解得a＜0.9
∵當(dāng)a＜0.9時(shí)，k=3.6-4a＞0，
∴函數(shù)y=（3.6-4a）x+（180-200a）中的y隨x增大而增大．
∴當(dāng)x=700時(shí)，y_最大=2700-3000a（7分）
解法二：
分兩種情況討論：
當(dāng)3.6-4a＞0，即a＜0.9時(shí)，函數(shù)y=（3.6-4a）x+（180-200a）中的y隨x增大而增大．
∴當(dāng)x=700時(shí)，y_最大=2700-3000a（7分）
當(dāng)3.6-4a≤0時(shí)，a≥0.9
∵根據(jù)成套銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)高于成本價(jià)可得：a+2（a-0.3）≤2，即a≤

13

15

∴此時(shí)不符合題意，舍去（8分）

②設(shè)成套的銷(xiāo)售量為m套，則零售的螺絲為（700-m）個(gè)，零售的螺母為（2300-2m）個(gè)，依題意得：
m[2-a-2（a-0.3）-0.3]+（700-m）（1-a-0.1）+（2300-2m）[0.6-（a-0.3）-0.1]=-0.2m-3000a+2470（10分）
故：-0.2m-3000a+2470=2700-3000a-260（11分）
解得：m=150（12分）
故成套的銷(xiāo)售量為150套．