【題目】已知,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過原點,頂點為A(s,t)(s≠0).
(1)當s=2時,t=1時,求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式;
(2)若(1)中的拋物線與x軸交于點B,過B作OA的平行線交拋物線于點D,求△BDO三條高的和;
(3)當點A在拋物線y=x2﹣x上,且﹣1≤s<2時,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:由題意可知A(2,1),
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2+1,
由于拋物線過原點,
∴將(0,0)代入y=a(x﹣2)2+1,
∴解得a=﹣ ,
∴拋物線的解析式為:y=﹣ (x﹣2)2+1
(2)解:令y=0代入y=﹣ (x﹣2)2+1,
∴解得x=4或x=0,
∴B(4,0)
設(shè)直線OA的解析式為:y=kx,
將A(2,1)代入y=kx,
∴k= ,
∵BD∥OA,
∴設(shè)直線BD的解析式為:y= x+m,
將B(4,0)代入y= x+m,
∴m=﹣2
∴直線BD的解析式為:y= x﹣2
聯(lián)立
解得:x=4或x=﹣2
∴D(﹣2,﹣3)
∴由勾股定理可知:OD= ,BD=3 ,
設(shè)OB、OD、BD邊上的高分別為h1,h2,h3,
∴h1=3
又∵OB=4,
∴S△BDO= OBh1=6,
∴ BDh3= ODh2=6,
∴h2= ,h3= ,
∴△BDO三條高的和h1+h2+h3=3+ +
(3)解:由題意可知:t=s2﹣s,
∵A(s,t)是y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點,
∴y=a(x﹣s)2+t,
又因為該拋物線經(jīng)過原點,
∴0=as2+t,
∴0=as2+s2﹣s,
∴s=(a+1)s2,
當s=0時,
此時,a全體實數(shù),
當s≠0時,此時﹣1≤s<0或0<s<2,
∴a= ,
∴a≤﹣2或a>﹣ ,
綜上所述,a≤﹣2或a>﹣
【解析】(1)由題意可知A(2,1),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2+1,由于拋物線過原點,所以將(0,0)代入即可求出a的值.(2)根據(jù)A(2,1)可求出OA的直線解析式,由于DB∥OA,所以一次項系數(shù)必定相等,從而可求出直線BD的解析式,聯(lián)立直線BD與拋物線的解析式即可求出D的坐標,然后根據(jù)勾股定理分別求出OD、BD的長度,再求出BOD的面積即可求出△BDO三條高的和.(3)t=s2﹣s,由于A(s,t)是y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點,所以y=a(x﹣s)2+t,將(0,0)代入該式后可得s=(a+1)s2 , 利用s的范圍即可求出a的范圍.
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點的相關(guān)知識點,需要掌握一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.當b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中每個小方格都是長為1個單位的正方形,若學(xué)校位置坐標為A(1,2),解答以下問題:
(1)請在圖中建立適當?shù)闹苯亲鴺讼,并寫出圖書館B位置的坐標;
(2)若體育館位置坐標為C(-3,3),請在坐標系中標出體育館的位置,并順次連接學(xué)校、圖書館、體育館,得到△ABC,求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,CE是△ABC的外角∠ACD的平分線,若∠B=25°,∠ACE=60°,則∠A=( )
A.105°
B.95°
C.85°
D.25°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為節(jié)約水資源,制定了新的居民用水收費標準.按照新標準,用戶每月繳納的水費y(元)與每月用水量x(m3)之間的關(guān)系如圖所示.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)若某用戶二、三月份共用水40m3(二月份用水量不超過25m3),繳納水費79.8元,則該用戶二、三月份的用水量各是多少m3?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點P(x0 , y0)和直線y=kx+b,則點P到直線y=kx+b的距離d可用公式d= 計算. 例如:求點P(﹣1,2)到直線y=3x+7的距離.
解:因為直線y=3x+7,其中k=3,b=7.
所以點P(﹣1,2)到直線y=3x+7的距離為d= = = .
根據(jù)以上材料,解答下列問題:
(1)點P(1,﹣1)到直線y=x+1的距離;
(2)已知⊙Q的圓心Q的坐標為(0,4),半徑r為2,判斷⊙Q與直線y= x+8的位置關(guān)系并說明理由;
(3)已知直線y=﹣2x+1與y=﹣2x+6平行,A、B是直線y=﹣2x+1上的兩點且AB=8,P是直線y=﹣2x+6上任意一點,求△PAB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD沿對角線AC翻折,點B落在點F處,FC交AD于E.
(1)求證:△AFE≌△CDF;
(2)若AB=4,BC=8,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)填表:
a | 0.000 001 | 0.001 | 1 | 1 000 | 1 000 000 |
(2)由上表你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?請用語言敘述這個規(guī)律:______________________________.
(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空:
①已知=1.442,則=__________,=__________;
②已知=0.076 96,則=__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,O為坐標原點,四邊形OABC為矩形,A(10,0),C(0,4),點D是OA的中點,點P在BC上運動,當△ODP是腰長為5的等腰三角形時,則P點的坐標為_____.
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