Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0，3)，與x軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B(3，0)，AB=4．

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)M是二次函數(shù)對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ACM的周長(zhǎng)最小？求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ACPB的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）(1，2)（3）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)時(shí)，四邊形ACPB的最大面積值為

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）要使△ACM的周長(zhǎng)最小，AC長(zhǎng)不變，即為AM+CM的和最小, 點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以點(diǎn)M為對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)；

（3）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得PQ的長(zhǎng)，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

(1)因?yàn)?/span>AB=4，所以A點(diǎn)的坐標(biāo)(－1，0)，

將點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

,解得

二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+2x+3；

(2)對(duì)稱軸x=1，要使△ACM的周長(zhǎng)最小，AC長(zhǎng)不變，即為AM+CM的和最�。�

點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以點(diǎn)M為對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+t，

將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

解得

直線BC的解析為y=﹣x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=2.則M(1，2)

(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)P，PF⊥x軸，交CB于點(diǎn)Q

P在拋物線上，設(shè)P(m，﹣m2+2m+3)，

直線BC的解析為y=﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，﹣m+3)，

PQ=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m．

AB=4，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

=ABOC+PQOF+PQFB

=×4×3+（-m2+3m）×3

=-（m-）2+，

當(dāng)m=時(shí)，四邊形ABPC的面積最大．

當(dāng)m=時(shí)，-m2+2m+3=，即P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）時(shí)，四邊形ACPB的最大面積值為．