Question

如圖，已知拋物線的頂點坐標是（2，-1），且經(jīng)過點A（5，8）
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)該拋物線與y軸相交于點B，與x軸相交于C、D兩點（點C在點D的左邊），試求點B、C、D的坐標；
（3）設(shè)點P是x軸任一點，連接AP、BP．試求當AP+BP取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式將頂點坐標（2，-1）代入，進而求出a的值即可；
（2）利用圖象與坐標軸交點求法，分別求出即可；
（3）首先利用B點對稱點B′（0，-3），連接AB′交x軸于點P，利用軸對稱得出AP+BP的最小值為線段AB′進而利用待定系數(shù)法求出解析式，即可得出P點坐標．

解答：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1，
∵拋物線經(jīng)過A（5，8），∴8=a（5-2）²-1，
解得：a=1
∴y=（x-2）²-1（或y=x²-4x+3）；

（2）令x=0得y=3，
故B （0，3 ）
令y=0得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
進而得出（1，0 ），D （3，0 ）；

（3）取點B關(guān)于x軸的對稱點B′（0，-3），連接AB′交x軸于點P．
則PB=PB′，∴AP+BP=AP+PB′=AB′，
而PB′為直線段，∴AP+BP的最小值為線段AB′．
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b過點A（5，8）和B′（0，-3），
∴

8=5k+b -3=b

，
解得：

k= 11 5 b=-3

，得AB′的解析式為：y=

11

5

x-3，
當y=0時，x=

15

11

，
∴點P的坐標為（

15

11

，0）．

點評：此題主要考查了頂點式求二次函數(shù)解析式以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及軸對稱的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出P點位置是解題關(guān)鍵．