Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接AD，AC，DC．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）判斷△ADC的形狀，并說明理由．
（3）對(duì)稱軸DE上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線AD的距離與到x軸的距離相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A（﹣3，0），C（0，3）在拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象上，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：由（1）得拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的頂點(diǎn)D（﹣1，4），

∵C（0，3），A（﹣3，0），

∴AD=2 ，AC=3 ，CD= ，

∴AD2=AC2+CD2，

∴△ADC是直角三角形

（3）

解：存在，

理由：∵拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴E（﹣1，0），

∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），

∴AE=2，DE=4，AD=2 ，

在Rt△ADE中，sin∠ADE= = ，

設(shè)P（﹣1，p），

∵點(diǎn)P到直線AD的距離與到x軸的距離相等

①當(dāng)點(diǎn)P在∠DAB的角平分線時(shí)，

如圖1，

過點(diǎn)P作PM⊥AD，

∴PM=PD×sin∠ADE= （4﹣p），PE=p，

∵PM=PE，

∴ （4﹣p）=p，

∴p= ﹣1，

∴P（﹣1， ﹣1），

②當(dāng)點(diǎn)P在∠DAB的外角的平分線時(shí)，

如圖2，

過點(diǎn)P作PM⊥AD，

∴PM=PD×sin∠ADE= （4﹣p），PE=﹣p，

∴ （4﹣p）=﹣p，

∴p=﹣ ﹣1，

∴P（﹣1，﹣ ﹣1），

綜上所述，存在點(diǎn)P到AD的距離與到x軸的距離相等，點(diǎn)P（﹣1， ﹣1）或（﹣1，﹣ ﹣1）

【解析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先確定出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出AD，AC，CD，用勾股定理的逆定理判斷即可；（3）先求出∠ADE的正弦值，再分點(diǎn)P在∠DAB的平分線和∠DAB的外角的平分線兩種情況用PM=PE建立方程求解即可．