Question

【題目】早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．

將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它．從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．

如圖2，作B關(guān)于直線l的對稱點B′，連結(jié)AB′與直線l交于點C，點C就是所求的位置．

證明：如圖3，在直線l上另取任一點C′，連結(jié)AC′，BC′，B′C′，

∵直線l是點B，B′的對稱軸，點C，C′在l上，

∴CB=CB′，C′B=C′B′，

∴AC+CB=AC+　 　=　 　．

在△AC′B′中，

∵AB′＜AC′+C′B′

∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最�。�

本問題實際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C在AB′與l的交點上，即A、C、B′三點共線）．本問題可歸納為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”的問題的數(shù)學(xué)模型．

1.簡單應(yīng)用

（1）如圖4，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中點，M是AD上的一點，求EM+MC的最小值

借助上面的模型，由等邊三角形的軸對稱性可知，B與C關(guān)于直線AD對稱，連結(jié)BM，EM+MC的最小值就是線段　 　的長度，則EM+MC的最小值是　 　；

（2）如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一點M、N當(dāng)△AMN周長最小時，∠AMN+∠ANM=　 　°．

2.拓展應(yīng)用

如圖6，是一個港灣，港灣兩岸有A、B兩個碼頭，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，現(xiàn)有一艘貨船從碼頭A出發(fā)，根據(jù)計劃，貨船應(yīng)先�？�OB岸C處裝貨，再�？�OA岸D處裝貨，最后到達(dá)碼頭B．怎樣安排兩岸的裝貨地點，使貨船行駛的水路最短？請畫出最短路線并求出最短路程．

Answer 1

【答案】C′B；AB′；簡單應(yīng)用：（1）BE；3；（2）100；拓展應(yīng)用：作圖見解析，貨船行駛的水路最短路程為千米

【解析】

1.簡單應(yīng)用

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理計算，得到答案；

（2）作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算；

2.拓展應(yīng)用

分別作點A關(guān)于OB的對稱點A′，點B關(guān)于OA的對稱點B′，連接A′B′，交OB于C，交OA于D，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、勾股定理計算，得到答案．

解：AC+CB=AC+C′B=AB′，

故答案為：C′B；AB′；

1.簡單應(yīng)用

（1）由等邊三角形的軸對稱性可知，B與C關(guān)于直線AD對稱，連結(jié)BM，

EM+MC的最小值就是線段BE的長度，

BE=，

則EM+MC的最小值是，

故答案為：BE；；

（2）如圖5，作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，

則A′A″即為△AMN的周長最小值，

∵∠DAB=130°，

∴∠A′+∠A″=50°，

∵∠A′=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°，

故答案為：100；

2.拓展應(yīng)用

如圖6，分別作點A關(guān)于OB的對稱點A′，點B關(guān)于OA的對稱點B′，連接A′B′，交OB于C，交OA于D，則C、D為兩岸的裝貨地點，A′B′是貨船行駛的水路最短路程，

由軸對稱的性質(zhì)可知，OA′=OA=1，OB′=OB=2，∠BOA′=∠AOB=30°，∠AOB′=∠AOB=30°，

∴∠A′OB′=90°，

∴A′B′=，

答：貨船行駛的水路最短路程為千米．