【題目】如圖①,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,∠A=30°,點E,F(xiàn)分別是線段BC,AC的中點,連接EF.

(1)說明線段BE與AF的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖②,當(dāng)△CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)時,連接AF,BE,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由;
(3)如圖③,當(dāng)△CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)時,延長FC交AB于點D,如果AD=6﹣2 ,求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù).

【答案】
(1)

解:BE⊥AF,AF= BE;理由如下:

∵在△ABC中,∠ABC=90°,BC=2,∠A=30°,

∴AC= BC=2 ,

∵點E,F(xiàn)分別是線段BC,AC的中點,

∴BE⊥AF,BE=CE,AF=CF,

=

∴AF= BE


(2)

解:(1)中的結(jié)論仍然成立,理由如下:

∵點E,F(xiàn)分別是線段BC,AC的中點,

∴EC= BC,F(xiàn)C= AC,

=

∵∠BCE=∠ACF=α,

∴△BEC∽△AFC,

= ,∠CBE=∠CAF,

延長BE交AC于點O,交AF于點M,如圖2所示:

∵∠BOC=∠AOM,∠CBE=∠CAF,

∴∠BCO=∠AMO=90°,

∴BE⊥AF


(3)

解:∵∠ACB=90°,BC=2,∠A=30°,

∴AB=2BC=4,∠B=60°,

∴DB=AB﹣AD=4﹣(6﹣2 )=2 ﹣2,

過點D作DH⊥BC于點H,如圖3所示:

∴BH= DB= ﹣1,DH= DB=3﹣

又∵CH=BC﹣BH=2﹣( ﹣1)=3﹣ ,

∴CH=DH,

∴∠HCD=45°,

∴∠DCA=45°,

∴α=180°﹣45°=135°.


【解析】(1)由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AC= BC=2 ,由已知得出BE⊥AF,BE=CE,AF=CF,得出 = ,即可得出結(jié)論;(2)由中點的定義得出EC= BC,F(xiàn)C= AC,得出 = ,再由∠BCE=∠ACF=α,證出△BEC∽△AFC,得出 = ,∠CBE=∠CAF,延長BE交AC于點O,交AF于點M,如圖2所示:由三角形內(nèi)角和定理證出∠BCO=∠AMO=90°,得出BE⊥AF;(3)由直角三角形的性質(zhì)得出AB=2BC=4,∠B=60°,得出DB=AB﹣AD=2 ﹣2,過點D作DH⊥BC于點H,由直角三角形的性質(zhì)得出BH= DB= ﹣1,DH= DB=3﹣ ,求出CH=3﹣ ,得出CH=DH,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠HCD=45°,得出∠DCA=45°,求出α=135°即可.
【考點精析】通過靈活運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),掌握①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了即可以解答此題.

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