Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形OBAC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，8），點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且不與端點(diǎn)重合，連接OD，OE，分別交對(duì)角線BC于點(diǎn)M，N，連接DE，若∠DOE＝45°， 以下說法正確的是________（填序號(hào)）．

①點(diǎn)O到線段DE的距離為8；②△ADE的周長(zhǎng)為16；③當(dāng)DE∥BC時(shí)，直線OE的解析式為y＝x； ④以三條線段BM，MN，NC為邊組成的三角形是直角三角形．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

如圖（見解析），過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，①先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)角的和差可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，，最后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得；②在①的基礎(chǔ)上可證，，再根據(jù)三角形全等性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式、等量代換即可得；③先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得是等腰直角三角形，設(shè)，則，從而可得，然后在中利用勾股定理可求出x的值，從而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求出直線OE的解析式即可；④設(shè)，先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，然后代入化簡(jiǎn)，利用勾股定理逆定理即可得．

如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

四邊形OBAC是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

，即

，即

在和中，

，

在和中，

，即

在和中，

即點(diǎn)O到線段DE的距離為8，說法①正確

由①已證：

同理可證：

則的周長(zhǎng)為

即說法②正確

四邊形OBAC是正方形

是等腰直角三角形

，即

設(shè)，則，且

在中，由勾股定理得：，即

解得或（不符題設(shè)，舍去）

點(diǎn)E的坐標(biāo)為

設(shè)直線OE的解析式為

將點(diǎn)代入得：，解得

則直線OE的解析式為，說法③錯(cuò)誤

設(shè)，則

由正方形的性質(zhì)得

，即

整理得

四邊形OBAC是正方形

，

，即

，即

在和中，

，即

整理得，即

由勾股定理逆定理可知，以三條線段為邊組成的三角形是直角三角形

則說法④正確

綜上，說法正確的是①②④

故答案為：①②④．