Question

【題目】如圖，在中，，，，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與重合），且，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，連接，設(shè)為．

（1）試說(shuō)明不論為何值時(shí)，總有∽；

（2）是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，試說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形；（3）當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）根據(jù)題意得到∠MQB=∠CAB，根據(jù)相似三角形的判定定理證明；
（2）根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；
（3）根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用x表示出QM、BM，根據(jù)梯形面積公式列出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可．

解：（1）∵，

∴，

∴，又，

∴∽；

（2）當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，

∵，，

∴四邊形為平行四邊形；

（3）∵，

∴，

∵∽，

∴，即，

解得，，

∵，

∴，即，

解得，，

則四邊形的面積，

∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為．