Question

【題目】已知：如圖一，拋物線與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線經過A、C兩點，且．

求拋物線的解析式；

若直線DE平行于x軸并從C點開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點E，D，同時動點P從點B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個單位速度運動，如圖；當點P運動到原點O時，直線DE與點P都停止運動，連DP，若點P運動時間為t秒；設，當t為何值時，s有最小值，并求出最小值．

在的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點的三角形與相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=．(2)時，s有最小值，且最小值為1．(3)或.

【解析】分析：

（1）由題意易得點A、B、C的坐標分別為（2，0），（4，0）和（0，-2），再用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可；

（2）由（1）中所得點A、B、C的坐標可得OB=4，OC=2，由此可得tan∠OCB=2，結合CE=t，可得DE=2t，結合OP=OB-PB=4-2t即可用含t的代數(shù)式表達出S，結合二次函數(shù)的性質即可求得t為何值時，S最小及最小值是多少了；

（3）由OB=5，OC=2易得BC=，由EC=t，DE=2t易得CD=，從而可得BD=，由∠ABC=∠PBD可知當t的值滿足 或 時，兩三角形相似進行計算討論即可求得對應的t的值.

詳解：

由直線：知：、；

∵，

∴，即．

設拋物線的解析式為：，代入，得：

，解得

∴拋物線的解析式：．

在中，，，則；

∵，

∴；

而；

∴，

∴當時，s有最小值，且最小值為1．

在中，，，則；

在中，，，則；

∴；

以P、B、D為頂點的三角形與相似，已知，則有兩種情況：

，解得；

，解得；

綜上，當或時，以P、B、D為頂點的三角形與相似．