Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分∠DAM．


（1）求證：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？請(qǐng)直接做出判斷，不需要證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：延長AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1（1），

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠ENC，

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE，

∴∠ENC=∠MAE，

∴MA=MN，

在△ADE和△NCE中， ，

∴△ADE≌△NCE（AAS），

∴AD=NC，

∴MA=MN=NC+MC=AD+MC；

（2）

解：AM=DE+BM成立，

理由如下：過點(diǎn)A作AF⊥AE，交CB的延長線于點(diǎn)F，如圖1（2）所示．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC，

∵AF⊥AE，

∴∠FAE=90°，

∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE，

在△ABF和△ADE中， ，

∴△ABF≌△ADE（ASA），

∴BF=DE，∠F=∠AED，

∵AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE，

∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM，

∴∠F=∠FAM，

∴AM=FM，

∴AM=FB+BM=DE+BM．

【解析】（1）延長AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1（1）所示，由四邊形ABCD為正方形，得到AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再由AE為角平分線得到一對(duì)角相等，根據(jù)DE=CE，利用AAS得到三角形ADE與三角形NCE全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=NC，由MN=MC+CN，等量代換即可得證；（2）AM=DE+BM成立，理由為：過點(diǎn)A作AF⊥AE，交CB的延長線于點(diǎn)F，如圖1（2）所示，由四邊形ABCD為正方形，得到四個(gè)內(nèi)角為直角，AB=AD，且AB與DC平行，根據(jù)AF與AE垂直，利用等角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用ASA得到三角形ABF與三角形ADE全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等得到BF=DE，∠F=∠AED，再由AB與DC平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊得到AM=FM，等量代換即可得證．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．