Question

（2005•廣東）如圖，已知半圓O的直徑AB=4，將一個三角板的直角頂點(diǎn)固定在圓心O上，當(dāng)三角板繞著點(diǎn)O轉(zhuǎn)動時，三角板的兩條直角邊與半圓圓周分別交于C、D兩點(diǎn)，連接AD、BC交于點(diǎn)E．
（1）求證：△ACE∽△BDE；
（2）求證：BD=DE恒成立；
（3）設(shè)BD=x，求△AEC的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理的推論得到兩個角相等，即證明三角形相似；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠B=45°，根據(jù)圓周角定理的推論得到∠BDE=90°，從而得到等腰直角三角形；
（3）在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理表示出AD的長，再進(jìn)一步表示AE的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析計算．
解答：（1）證明：∵∠ACB與∠ADB都是半圓所對的圓周角，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠AEC=∠DEB（對頂角相等）．
所以△ACE∽△BDE

（2）證明：∵∠DOC=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°
∴∠BAD+∠ABC=（∠AOC+∠BOD）=45°
∴∠BED=∠BAD+∠ABC=45°．
又∵∠BDE=90°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴BD=DE．

（3）解：∵BD=x，BD=DE
∴DE=x，AD=，
∴AE=AD-DE=-x．
∵△ACE∽△BDE，
∴△AEC也是等腰直角三角形，
∴AC=AE=（-x）
∵△ACE∽△BDE，
∴AC=EC．
∴y=AC×EC=AC²=（-x）²=4-x，
點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時，點(diǎn)D為AB弧的中點(diǎn)，此時BD=×=2，
所以，x的取值范圍為：0＜x＜2．
點(diǎn)評：此題要能夠熟練運(yùn)用圓周角定理的推論以及相似三角形的性質(zhì)和判定，能夠根據(jù)勾股定理表示出相關(guān)的邊．