Question

【題目】一張如圖1的長方形鐵皮，四個(gè)角都剪去邊長為的正方形，再四周折起，做成一個(gè)有底無蓋的鐵盒如圖2，鐵盒底面長方形的長是，寬是這個(gè)無蓋鐵盒各個(gè)面的面積之和稱為鐵盒的全面積．

（1）圖1中原長方形鐵皮的面積為_；（用的代數(shù)式表示）

（2）若要在鐵盒的各個(gè)外表面漆上某種油漆，每元錢可涂的面積為，則涂完這個(gè)鐵盒需要多少錢？（用的代數(shù)式表示）

（3）是否存在一個(gè)最大正整數(shù)，使得鐵盒的全面積是底面積的正整數(shù)倍？若存在，請直接寫出這個(gè)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）12a2＋420a＋3600；（2）涂完這個(gè)鐵盒需要(480a＋16800)元；（3）a＝35或7或5或1

【解析】

（1）根據(jù)圖形表示出原長方形鐵皮的長和寬，進(jìn)而表示出原長方形鐵皮的面積即可；

（2）根據(jù)原長方形鐵皮的面積剪去四個(gè)小正方形的面積，求出鐵盒的表面積，乘以單價(jià)即可得到結(jié)果；

（3）假設(shè)存在，列出鐵盒的全面積和底面積的公式，求整數(shù)倍數(shù)即可．

解：（1）原鐵皮的面積是（4a＋60）（3a＋60）＝12a2＋420a＋3600，

故答案為：12a2＋420a＋3600；

（2）油漆這個(gè)鐵盒的表面積是：12a2＋2×30×4a＋2×30×3a＝12a2＋420a，

則油漆這個(gè)鐵盒需要的錢數(shù)是：（12a2＋420a）÷＝（12a2＋420a）×＝480a＋16800（元），

答：涂完這個(gè)鐵盒需要(480a＋16800)元；

（3）鐵盒的全面積是4a×3a＋4a×30×2＋3a×30×2＝12a2＋420a，

底面積是4a×3a＝12a2，

假設(shè)存在正整數(shù)n，使12a2＋420a＝n·12a2

整理得（n－1）a＝35，

則a＝35，n＝2或a＝7，n＝6或a＝5，n＝8或a＝1，n＝36

所以存在鐵盒的全面積是底面積的正整數(shù)倍，這時(shí)a＝35或7或5或1．