Question

如圖，線段AD=5，⊙A的半徑為1，C為⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，CD的垂直平分線分別交CD，AD于點(diǎn)E，B，連接BC，AC，構(gòu)成△ABC，設(shè)AB=x．
（1）求x的取值范圍；
（2）若△ABC為直角三角形，則x=

 

；
（3）設(shè)△ABC的面積的平方為W，求W的最大值．

Answer 1

分析：（1）由AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，可得BC=BD=5-x，又由，⊙A的半徑為1，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可求得x的取值范圍；
（2）分別從若AB是斜邊與BC是斜邊去分析，利用勾股定理的知識(shí)，借助于方程即可求得x的值；
（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，設(shè)CF=h，AF=m，則W=（

1

2

xh）²=

1

4

x²h²，由AC²-AF²=BC²-BF²，則1-m²=（5-x）²-（x-m）²，分別從2.4＜x＜3時(shí)與2＜x≤2.4去分析，即可求得答案．

解答：解：（1）∵AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，
∴BC=BD=5-x，在△ABC中，AC=1，
∴（5-x）-1＜x＜1+（5-x），
解得：2＜x＜3；

（2）∵△ABC為直角三角形，
若AB是斜邊，則AB²=AC²+BC²，
即x²=（5-x）²+1，
∴x=2.6；
若BC是斜邊，則BC²=AB²+AC²，
即（5-x）²=x²+1，
∴x=2.4．
故答案為：2.4或2.6．

（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，
設(shè)CF=h，AF=m，則W=（

1

2

xh）²=

1

4

x²h²，
①如圖，當(dāng)2.4＜x＜3時(shí)，AC²-AF²=BC²-BF²，則1-m²=（5-x）²-（x-m）²，
得：m=

5x-12

x

，
∴h²=1-m²=

-24x2+120x-144

x2

，
∴W=

1

4

x²h²=-6x²+30x-36，
即W=-6（x-

5

2

）²+

3

2

，
當(dāng)x=2.5時(shí)（滿足2.4＜x＜3），W取最大值1.5；
②當(dāng)2＜x≤2.4時(shí)，同理可得：W=-6x²+30x-36=-6（x-

5

2

）²+

3

2

，
當(dāng)x=2.4時(shí)，W取最大值1.44＜1.5，
綜合①②得，W的最大值為1.5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形三邊關(guān)系，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的應(yīng)用．