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【題目】如圖,在△ABC=90°,D是邊AC上的一點,連接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一點,以BE為直徑的⊙O經過點D.

(1)求證:AC是⊙O的切線;

(2)若∠A=60°,⊙O的半徑為2,求陰影部分的面積.(結果保留根號和π)

【答案】(1)AC是⊙O的切線;(2)

【解析】

試題分析:(1)由OD=OB得∠1=∠ODB,則根據三角形外角性質得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1,而∠A=2∠1,所以∠DOC=∠A,由于∠A+∠C=90°,所以∠DOC+∠C=90°,則可根據切線的判定定理得到AC是⊙O的切線;

(2)由∠A=60°得到∠C=30°,∠DOC=60°,根據含30度的直角三角形三邊的關系得CD=2,然后利用陰影部分的面積=S△COD﹣S扇形DOE和扇形的面積公式求解.

試題解析:(1)證明:∵OD=OB,

∴∠1=∠ODB,

∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1,

∵∠A=2∠1,

∴∠DOC=∠A,

∵∠A+∠C=90°,

∴∠DOC+∠C=90°,

∴OD⊥DC,

∴AC是⊙O的切線;

(2)解:∵∠A=60°,

∴∠C=30°,∠DOC=60°,

在Rt△DOC中,OD=2,

∴CD=OD=2,

∴陰影部分的面積=S△COD﹣S扇形DOE

=×2×2=

練習冊系列答案
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解:因為BE是∠ABC的角平分線

所以   (角平分線的定義)

又因為∠E=∠1(已知)

所以∠E=∠2(   

所以      

所以∠A+∠ABC=180°(  

又因為∠3+∠ABC=180°(已知)

所以   ( )

所以DF∥AB(   

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