【題目】如圖①,∠QPN的頂點(diǎn)P在正方形ABCD兩條對(duì)角線交點(diǎn)處,∠QPN=α,將∠QPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊ADCD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)C,D不重合).

(1)如圖①,當(dāng)α=90°時(shí),DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是________;

(2)如圖②,將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形,其他條件不變,當(dāng)α=60°時(shí),(1)中的結(jié)論變?yōu)?/span>________,請(qǐng)給出證明;

(3)(2)的條件下,若旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點(diǎn)E,其他條件不變,當(dāng)點(diǎn)E落在線段AD的延長線上時(shí),探究DE,DF,AD之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)論,不用加以證明).

【答案】(1)DE+DF=AD;(2)DE+DF=AD,證明見解析;(3)DF﹣DE=AD,證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)題意通過“角邊角”證明△APE≌△DPF,得到AE=DF,則可得DE+DF=AD;

(2)如圖②,AD的中點(diǎn)M,連接PM,根據(jù)題意可證得△MDP是等邊三角形,進(jìn)而可通過“角邊角”證明△MPE≌△DPF,得到ME=DF,則可得DE+DF=AD;

(3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)E落在AD的延長線上時(shí),取AD的中點(diǎn)M,連接PM,同理(2)可證得△MPE≌△DPF,得到ME=DF,則可得DF﹣DE=AD.

(1)正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)P,

∴PA=PD,∠PAE=∠PDF=45°,

∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°,

∴∠APE=∠DPF,

△APE△DPF,

∴△APE≌△DPF(ASA),

∴AE=DF,

∴DE+DF=AD;

(2)如圖②,AD的中點(diǎn)M,連接PM,

∵四邊形ABCD為菱形,∠ADC=120°,
∴AD=CD,∠DAP=30°,AC⊥BD,
∴∠ADP=∠CDP=60°,
∵AM=MD,
∴PM=MD,

∴△MDP是等邊三角形,

∴PM=PD,∠MPD=∠PME=∠PDF=60°,

∵∠QPN=60°,

∴∠MPE=∠FPD,

△PME△DPF,

,

∴△MPE≌△DPF(ASA),

∴ME=DF,

∴DE+DF=AD;

(3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)E落在AD的延長線上時(shí),取AD的中點(diǎn)M,連接PM,

同(2)可證得,△MDP是等邊三角形,
∴∠PME=∠MPD=60°,PM=PD,
∵∠QPN=60°,
∴∠MPE=∠FPD,
在△MPE和△DPF中,

,
∴△MPE≌△DPF(ASA).
∴ME=DF,
∴DF-DE=ME-DE=DM=AD.

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②求α,β之間的關(guān)系式.

(2)請(qǐng)直接寫出不同于以上②中的α,β之間的關(guān)系式可以是   .(寫出一個(gè)即可.)

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___________________________

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