Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx﹣3與雙曲線的兩個交點(diǎn)為A，B，其中A（﹣1，m）.

（1）求m的值及直線的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)M為x軸上一個動點(diǎn)，且△AMB為直角三角形，直接寫出滿足條件的點(diǎn)M的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）m＝﹣4，y＝x﹣3；（2）點(diǎn)M有4個

【解析】

（1）先利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)A坐標(biāo)，進(jìn)而代入雙曲線解析式中即可得出結(jié)論；

（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，分三種情況，用勾股定理建立方程即可求出結(jié)論.

解：（1）把A（﹣1，m）代入得

∴m＝﹣4

把A（﹣1，﹣4）代入y＝kx﹣3

∴﹣4＝﹣k﹣3

∴k＝1

∴y＝x﹣3，

（2）由（1）知，直線AB的解析式為y＝x﹣3①，

∵雙曲線的解析式為②，

聯(lián)立①②解得，或，

∴A（﹣1，﹣4），B（4，1），

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），

∴AB2＝50，AM2＝（m+1）2+16，BM2＝（m﹣4）2+1

∵△AMB是直角三角形，

∴①當(dāng)∠AMB＝90°時，AM2+BM2＝AB2，

∴50＝（m+1）2+16+（m﹣4）2+1，

∴，

∴M（，0）或（，0）；

②當(dāng)∠BAM＝90°時，AB2+AM2＝BM2，

∴50+（m+1）2+16＝（m﹣4）2+1，

∴m＝﹣5，

∴M（﹣5，0）；

③當(dāng)∠ABM＝90°時，AB2+BM2＝AM2，

∴50+（m﹣4）2+1＝（m+1）2+16，

∴m＝5，

∴M（5，0）

∴滿足條件的點(diǎn)M有4個.