Question

【題目】△ABC中，AD是BC邊上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分別是BC、AB、AC邊上的動點，則△PQR周長的最小值為 ．

Answer 1

【答案】.

【解析】

試題分析：如圖1中，作P點關(guān)于AB的對稱點P′，作P點關(guān)于AC的對稱點P″，連接P′P″，與AB交于點Q′，與AC交于點R′，連接PP′交AB于M，連接PP″交AC于N，此時△PQ′R′的周長最小，這個最小值=P′P″，∵PM=MP′，PN=NP″，∴P′P″=2MN，∴當MN最小時P′P″最小．如圖2中，∵∠AMP=∠ANP=90°，∴A、M、P、N四點共圓，線段AP就是圓的直徑，MN是弦，∵∠MAN是定值，∴直徑AP最小時，弦MN最小，∴當點P與點D重合時，PA最小，此時MN最�。�如圖3中，∵在RT△ABD中，∠ADB=90°，AD=2，DB=3，∴AB=，在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，CD=1，∴AC=，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴ACDN=DCAD，∴DN=，AN=，∵∠MAD=∠DAB，∠AMD=∠ADB，∴△AMD∽△ADB，∴，∴=AMAB，同理=ANAC，∴AMAB=ANAC，∴，∵∠MAN=∠CAB，∴△AMN∽△ACB，∴，∴，∴MN=，∴△PQR周長的最小值=P′P″=2MN=．

故答案為：．