Question

【題目】已知拋物線C1：y＝ax2+bx+b2向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度得到拋物線C2：y＝x2.

（1）直接寫出拋物線C1的解析式；

（2）如圖1，已知拋物線C1交x軸于點A、點B，點A在點B的左側，點P（2，t）在拋物線C1上，CB⊥PB交拋物線于點C，求C點的坐標；

（3）已知點E、點M在拋物線C2上，EM∥x軸，點E在點M左側，過點M的直線MD與拋物線C2只有一個公共點（MD與y軸不平行），直線DE與拋物線交于另一點N．若線段NE＝DE，設點M、N的橫坐標分別為m、n，求m和n的數量關系（用含m的式子表示n）

Answer 1

【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）C（﹣，）；（3）n＝（1）m．

【解析】

（1）拋物線C2：y＝x2向右平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度得到C1，即可求解；

（2）過點B作y軸的平行線MN，過點C作CM⊥MN于點M，過點P作PN⊥MN于點N，證明∠BCM＝∠PBN，則tan∠MCB＝tan∠PBN＝，設BM＝m，則CM＝3m，可得點C（3﹣3m，m），將點C的坐標代入C1的解析式，即可求解；

（3）由題意可得點M、N的坐標為：（m，m2）、（n，n2），點E（﹣m，m2），設直線MD的表達式為：y＝kx+b，代入點M的坐標并根據直線MD與拋物線C2只有一個公共點可求出直線MD的表達式為：y＝2mx﹣m2，然后由中點坐標公式結合點N、E的坐標，表示出點D的坐標，再將點D的坐標代入直線MD的表達式整理求解即可．

（1）拋物線C2：y＝x2向右平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度得到C1：

故拋物線C1的解析式為：y＝（x﹣1）2﹣4；

（2）過點B作y軸的平行線MN，過點C作CM⊥MN于點M，過點P作PN⊥MN于點N，

∵∠PBN+∠BPN＝90°，∠PBN+∠CBM＝90°，

∴∠BCM＝∠PBN，

當y=0時，即（x﹣1）2﹣4＝0，

解得：x=3或x=－1，

∴B（3，0），

當x=2時，y＝（x﹣1）2﹣4＝﹣3，

∴點P的坐標為：（2，﹣3），則NB＝3，PN＝1，

∴tan∠MCB＝tan∠PBN＝，

設BM＝m，則CM＝3m，則點C（3﹣3m，m），

將點C的坐標代入C1的解析式可得：m＝（3﹣3m﹣1）2﹣4

解得：m＝或m=0（舍去），此時3﹣3m＝，

故點C（﹣，）；

（3）∵點M、N的橫坐標分別為m、n，

∴點M、N的坐標為：（m，m2）、（n，n2），則點E（﹣m，m2），

設直線MD的表達式為y＝kx+b，

將點M的坐標代入得m2=km+b，則b=m2－km，

∴直線MD的表達式為：y＝kx+m2﹣km，

聯(lián)立y＝kx+m2﹣km與y＝x2可得：x2＝kx+m2﹣km，整理得：x2－kx－m2＋km＝0，

∵直線MD與拋物線C2只有一個公共點，

∴△＝（－k）2﹣4（﹣m2+km）＝k2+4m2－4km＝0，

解得：k＝2m，

故直線MD的表達式為：y＝2mx﹣m2，

∵N（n，n2），E（﹣m，m2），

根據中點公式得：點D橫坐標為：－2m－n，點D縱坐標為：2m2﹣n2，

∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），

將點D的坐標代入y＝2mx﹣m2可得2m2﹣n2＝2m(﹣2m﹣n) ﹣m2，

整理得：n2﹣2mn﹣7m2＝0，

方程兩邊同時除以m2得：，

解得：，

∴n＝．