【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,以D為頂點作一個60°角∠NDM,角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點,連接MN.試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關系,并加以證明.

【答案】BM+CN=NM,證明見解析

【解析】試題分析:延長AC至E,使CE=BM,連接DE,將BM,CN放在一條直線上,利用已知證明△DCE≌△BMD,再證出△DMN≌△DEN,從而得出答案.

試題解析:探究結論:BM+CN=NM.

證明:延長AC至E,使CE=BM,連接DE,

∵△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,△ABC是等邊三角形,

∴∠BCD=30°,

∴∠ABD=∠ACD=90°,

即∠ABD=∠DCE=90°,

∴在Rt△DCE和Rt△DBM中,

∵BD=CD,BM=EC

∴Rt△DCE≌Rt△DBM(HL),

∴∠BDM=∠CDE,

又∵∠BDC=120°,∠MDN=60°,

∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°,

∴∠CDE+∠NDC=60°,即∠NDE=60°,

∴∠MDN=∠NDE=60°

∴DM=DE(上面已經(jīng)全等)

在△DMN和△DEN中

∵DM=DE,∠MDN=∠NDE,DN=DN

∴△DMN≌△DEN(SAS),

∴NM=EN

即NM=CE+CN

∴BM+CN=NM.

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