Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第二象限且縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，AB=AO，∠ABO=30°，直線MN經(jīng)過原點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A1在x軸的正半軸上，點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)為B1 ．

（1）求∠AOM的度數(shù)．
（2）已知30°，60°，90°的三角形三邊比為1： ：2，求線段AB1的長和B1的縱坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)A1關(guān)于直線MN對稱，

∴∠AOM=∠A1OM，

∵AB=AO，∠ABO=30°，

∴∠AOB=30°，

∵∠AOB+∠AOM+∠A1OM=180°，

∴∠AOM=75°

（2）

解：過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B1作B1D⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示．

∵∠AOC=30°，∠ACO=90°，AC=1，

∴AO=2AC=2，OC= AC= ，

∵AB=AO，

∴BO=2OC=2 ，

∴點(diǎn)A（﹣ ，1），點(diǎn)B（﹣2 ，0）．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A1關(guān)于直線MN對稱，

∴OA1=OA=2，

∴點(diǎn)A1（2，0），

∴A1B=2﹣（﹣2 ）=2+2 ，

∵點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A1，點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)為B1，

∴AB1=A1B=2+2 ，OB1=OB=2 ．

在Rt△OB1D中，∠B1OD=∠AOB=30°，

∴B1D= OB1= ．

故線段AB1的長為2+2 ，B1的縱坐標(biāo)為 ．

【解析】（1）由點(diǎn)A與點(diǎn)A1關(guān)于直線MN對稱，可得出∠AOM=∠A1OM，再由等腰三角形的性質(zhì)可得出∠AOB=30°，通過角的計(jì)算即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B1作B1D⊥x軸于點(diǎn)D，通過解直角三角形以及等腰三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)對稱的性質(zhì)即可得出點(diǎn)A1的坐標(biāo)以及AB1=A1B，在Rt△OB1D中，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得出B1D的長度，此題得解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系和比例的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊；基本性質(zhì)；更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）；反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）；等比性質(zhì)才能正確解答此題．