Question

（2012•平谷區(qū)二模）已知：正比例函數(shù)y₁=k₁x（k₁≠0）和反比例函數(shù)y2=

k2

x

(k2≠0)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，

3

）．
（1）求滿足條件的正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且點(diǎn)P到x軸和正比例函數(shù)圖象的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把A（1，

3

）分別代入y₁=k₁x（k₁≠0）和y2=

k2

x

(k2≠0)即可求得k₁，k₂的值；
（2）作PB⊥x軸于B，AC⊥x軸于C，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)可得到∠AOC=60°，由于點(diǎn)P到x軸和正比例函數(shù)圖象的距離相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠POB=30°，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（a，b），則a=

3

b，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

b，b），設(shè)直線OP的解析式為y=mx，則可求出m=

3

3

，然后解由反比例函數(shù)的解析式和直線OP的解析式組成的方程組即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把A（1，

3

）分別代入y₁=k₁x（k₁≠0）和y2=

k2

x

(k2≠0)得k₁=

3

，k₂=

3

，
所以正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式分別為y=

3

x，y=

3

x

；

（2）作PB⊥x軸于B，AC⊥x軸于C，如圖，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

3

），即AC=

3

，OC=1，
∴tan∠AOC=

3

，
∴∠AOC=60°，
∵點(diǎn)P到x軸和正比例函數(shù)圖象的距離相等，
∴∠POB=30°，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（a，b），則a=

3

b，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

b，b），
設(shè)直線OP的解析式為y=mx，
把（

3

b，b）代入得b=

3

b•m，
∴m=

3

3

，
解方程組

y= 3 x y= 3 3 x

得

x= 3 y=1

或

x=- 3 y=-1

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

，1）或（-

3

，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及角平分線的性質(zhì)．