【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A,B的坐標分別為A(0,a),B(b,a),且a,b滿足(a﹣3)2+|b﹣6|=0,現(xiàn)同時將點A,B分別向下平移3個單位,再向左平移2個單位,分別得到點A,B的對應(yīng)點C,D,連接AC,BD,AB.
(1)求點C,D的坐標及四邊形ABDC的面積S四邊形ABCD;
(2)在y軸上是否存在一點M,連接MC,MD,使S△MCD=S四邊形ABCD?若存在這樣一點,求出點M的坐標,若不存在,試說明理由;
(3)點P是直線BD上的一個動點,連接PA,PO,當點P在BD上移動時(不與B,D重合),直接寫出∠BAP,∠DOP,∠APO之間滿足的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)18;(2)M(0,2)或(0,﹣2);(3)①當點P在線段BD上移動時,∠APO=∠DOP+∠BAP;②當點P在DB的延長線上時,∠DOP=∠BAP+∠APO;③當點P在BD的延長線上時,∠BAP=∠DOP+∠APO.
【解析】
(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)分別求出a、b,根據(jù)平移規(guī)律得到點C,D的坐標,根據(jù)坐標與圖形的性質(zhì)求出S四邊形ABCD;
(2)設(shè)M坐標為(0,m),根據(jù)三角形的面積公式列出方程,解方程求出m,得到點M的坐標;
(3)分點P在線段BD上、點P在DB的延長線上、點P在BD的延長線上三種情況,根據(jù)平行線的性質(zhì)解答.
解:(1)∵(a﹣3)2+|b﹣6|=0,
∴a﹣3=0,b﹣6=0,
,解得,a=3,b=6.
∴A(0,3),B(6,3),
∵將點A,B分別向下平移3個單位,再向左平移2個單位,分別得到點A,B的對應(yīng)點C,D,
∴C(﹣2,0),D(4,0),
∴S四邊形ABDC=AB×OA=6×3=18;
(2)在y軸上存在一點M,使S△MCD=S四邊形ABCD,
設(shè)M坐標為(0,m).
∵S△MCD=S四邊形ABDC,
∴×6|m|=×18,
解得m=±2,
∴M(0,2)或(0,﹣2);
(3)①當點P在線段BD上移動時,∠APO=∠DOP+∠BAP,
理由如下:如圖1,過點P作PE∥AB,
∵CD由AB平移得到,則CD∥AB,
∴PE∥CD,
∴∠BAP=∠APE,∠DOP=∠OPE,
∴∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO;
②當點P在DB的延長線上時,同①的方法得,
∠DOP=∠BAP+∠APO;
③當點P在BD的延長線上時,同①的方法得,
∠BAP=∠DOP+∠APO.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=﹣ x2 x與x軸交于O,A,點B在拋物線上且橫坐標為2.
(1)如圖1,△AOB的面積是多少?
(2)如圖1,在線段AB上方的拋物線上有一點K,當△ABK的面積最大時,求點K的坐標及△ABK的面積;
(3)在(2)的條件下,點H 在y軸上運動,點I在x軸上運動.則當四邊形BHIK周長最小時,求出H、I的坐標以及四邊形BHIK周長的最小值.
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【題目】在同一平面內(nèi),若有條直線,則最多有______個交點;若條直線中恰好有且只有條直線互相平行,則這條直線最多有_____個交點(用含有的式子表示).
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【題目】一個三位正整數(shù)M,其各位數(shù)字均不為零且互不相等.若將M的十位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置,得到一個新的三位數(shù),我們稱這個三位數(shù)為M的“友誼數(shù)”,如:168的“友誼數(shù)”為“618”;若從M的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字中任選兩個組成一個新的兩位數(shù),并將得到的所有兩位數(shù)求和,我們稱這個和為M的“團結(jié)數(shù)”,如:123的“團結(jié)數(shù)”為12+13+21+23+31+32=132.
(1)求證:M與其“友誼數(shù)”的差能被15整除;
(2)若一個三位正整數(shù)N,其百位數(shù)字為2,十位數(shù)字為a、個位數(shù)字為b,且各位數(shù)字互不相等(a≠0,b≠0),若N的“團結(jié)數(shù)”與N之差為24,求N的值.
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【題目】某種商品A的零售價為每件900元,為了適應(yīng)市場競爭,商店按零售價的九折優(yōu)惠后,再讓利40元銷售,仍可獲利10%, ①這種商品A的進價為多少元?
②現(xiàn)有另一種商品B進價為600元,每件商品B也可獲利10%.對商品A和B共進貨100件,要使這100件商品共獲純利6670元,則需對商品A、B分別進貨多少件?
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【題目】如圖,某校園內(nèi)有一塊菱形的空地ABCD,為了美化環(huán)境,現(xiàn)要進行綠化,計劃在中間建設(shè)一個面積為S的矩形綠地EFGH,其中,點E、F、G、H分別在菱形的四條邊上,AB=a米,BE=BF=DG=DH=x米,∠A=60°
(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量x的取值范圍;
(2)若a=100,求S的最大值,并求出此時x的值.
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【題目】如圖,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°.
(1) 請你判斷DA與CE的位置關(guān)系,并說明理由;
(2) 若DA平分∠BDC,CE⊥AE于點E,∠1=70°,試求∠FAB的度數(shù).
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【題目】高速公路的同一側(cè)有A、B兩城鎮(zhèn),如圖,它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA′=2 km,BB′=4 km,A′B′=8 km.要在高速公路上A′、B′之間建一個出口P,使A、B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小.求這個最短距離.
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【題目】如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC、∠ABC的平分線相交于點D,且DE⊥BC于點E,DF⊥AC于點F,那么四邊形CEDF是正方形嗎?請說明理由(提示:可作DG⊥AB于點G)
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