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(2012•婁底)如圖,在矩形ABCD中,M、N分別是AD、BC的中點,P、Q分別是BM、DN的中點.
(1)求證:△MBA≌△NDC;
(2)四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形?請說明理由.
分析:(1)根據矩形的性質和中點的定義,利用SAS判定△MBA≌△NDC;
(2)四邊形MPNQ是菱形,連接AN,有(1)可得到BM=DN,再有中點得到PM=NQ,再通過證明△MQD≌△NPB得到MQ=PN,從而證明四邊形MPNQ是平行四邊形,利用三角形中位線的性質可得:MP=MQ,進而證明四邊形MQNP是菱形.
解答:證明:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°,
∵在矩形ABCD中,M、N分別是AD、BC的中點,
∴AM=
1
2
AD,CN=
1
2
BC,
∴AM=CN,
在△MAB和△NDC中,
AB=CD
∠A=∠C=90°
AM=CN
,
∴△MBA≌△NDC;

(2)四邊形MPNQ是菱形.
理由如下:連接AP,MN,
則四邊形ABNM是矩形,
∵AN和BM互相平分,
則A,P,N在同一條直線上,
易證:△ABN≌△BAM,
∴AN=BM,
∵△MAB≌△NDC,
∴BM=DN,
∵P、Q分別是BM、DN的中點,
∴PM=NQ,
∵DM=BN,DQ=BP,∠MDQ=∠NBP,
∴△MQD≌△NPB.
∴四邊形MPNQ是平行四邊形,
∵M是AD中點,Q是DN中點,
∴MQ=
1
2
AN,
∴MQ=
1
2
BM,
∵MP=
1
2
BM,
∴MP=MQ,
∴平行四邊形MQNP是菱形.
點評:本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定和全等三角形的性質、三角形中位線定理以及平行四邊形的判定和菱形的判定方法,屬于基礎題目.
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3.42
3.42
米.

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3
≈1.732).

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2
2

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同步練習冊答案
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