【題目】(問(wèn)題情境)如圖①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

1)(問(wèn)題解決)延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE(或?qū)ⅰ?/span>ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷出中線AD的取值范圍是   

(反思感悟)解題時(shí),條件中若出現(xiàn)中點(diǎn)、中線字樣,可以考慮構(gòu)造以該中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同個(gè)三角形中,從而解決問(wèn)題.

2)(嘗試應(yīng)用)如圖②,△ABC中,∠BAC=90°,ADBC邊上的中線,試猜想線段AB,ACAD之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

3)(拓展延伸)如圖③,△ABC中,∠BAC=90°,DBC的中點(diǎn),DMDNDMAB于點(diǎn)M,DNAC于點(diǎn)N,連接MN.當(dāng)BM=4,MN=5AC=6時(shí),請(qǐng)直接寫出中線AD的長(zhǎng).

【答案】12AD8;(2AB2AC24AD2,理由見解析;(3AD5

【解析】

1)延長(zhǎng)ADE,使DEAD,由SAS證明BDE≌△CDA,得出BEAC8,在ABE中,由三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍,即可得出AD的取值范圍;

2)延長(zhǎng)ADE,使DEAD,連接BE,如圖②所示,由(1)可知BDE≌△CDA,然后只要證明∠ABE90°,利用勾股定理即可得出結(jié)論;

3)延長(zhǎng)NDE,使得DNDE,連接BE、EM,首先證明BDE≌△CDN,求出∠ABD+∠DBE90°,然后利用勾股定理可得BE3,進(jìn)而得到ANNC,利用三線合一證明DNAC,同理可得DMAB,然后證明四邊形AMDN是矩形即可解決問(wèn)題.

解:(1)延長(zhǎng)ADE,使DEAD,連接BE,如圖①所示,

ADBC邊上的中線,

BDCD

BDECDA中,,

∴△BDE≌△CDASAS),

BEAC6,

ABE中,由三角形的三邊關(guān)系得:ABBEAEABBE,

106AE106,即4AE16,

2AD8;

2AB2AC24AD2,

理由:延長(zhǎng)ADE,使DEAD,連接BE,如圖②所示,

由(1)可知:BDE≌△CDA,

BEAC,∠E=∠CAD,

∵∠BAC90°,

∴∠E+∠BAE=∠BAE+∠CAD=∠BAC90°

∴∠ABE90°,

AB2BE2AE2,

AB2AC24AD2

3)如圖③,延長(zhǎng)NDE,使得DNDE,連接BEEM

BDDC,∠BDE=∠CDN,DEDN,

∴△BDE≌△CDN

BECM,∠EBD=∠C,

∵∠ABC+∠C90°,

∴∠ABD+∠DBE90°,

MDENDEDN,

MEMN5,

RtBEM中,BE3,

CNBE3,

AC6

ANNC,

∵∠BAC90°,BDDC

ADDCBD,

DNAC,

RtAMN中,AM4,

AMBM

DADB,

DM,

∴∠AMD=∠AND=∠MAN90°

∴四邊形AMDN是矩形,

ADMN5

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】我市在黨中央實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策的號(hào)召下,大力開展科技扶貧工作,幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷售公司,某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過(guò)100萬(wàn)件,該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分(如圖所示);該產(chǎn)品的銷售單價(jià)z(元/件)與年銷售量x(萬(wàn)件)之間的函數(shù)圖象是如圖所示的一條線段,生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完,達(dá)到產(chǎn)銷平衡,所獲毛利潤(rùn)為W萬(wàn)元.(毛利潤(rùn)=銷售額﹣生產(chǎn)費(fèi)用)

(1)請(qǐng)直接寫出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(寫出自變量x的取值范圍)

(2)求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(寫出自變量x的取值范圍);并求年產(chǎn)量多少萬(wàn)件時(shí),所獲毛利潤(rùn)最大?最大毛利潤(rùn)是多少?

(3)由于受資金的影響,今年投入生產(chǎn)的費(fèi)用不會(huì)超過(guò)360萬(wàn)元,今年最多可獲得多少萬(wàn)元的毛利潤(rùn)?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】鄭州市農(nóng)業(yè)路高架橋二層的開通,較大程度緩解了市內(nèi)交通的壓力,最初設(shè)計(jì)南陽(yáng)路口上橋匝道時(shí),其坡角為15°,后來(lái)從安全角度考慮將匝道坡角改為5°(見示意圖),如果高架橋高CD=6米,匝道BD和AD每米造價(jià)均為4 000元,那么設(shè)計(jì)優(yōu)化后修建匝道AD的投資將增加多少元?(參考數(shù)據(jù):sin5°≈0.08,sin15°≈0.25,tan5°≈0.09,tan15°≈0.27,結(jié)果保留整數(shù))

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某商人制成了一個(gè)如圖所示的轉(zhuǎn)盤,取名為開心大轉(zhuǎn)盤,游戲規(guī)定:參與者自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止后,若指針指向字母A,則收費(fèi)2元,若指針指向字母B,則獎(jiǎng)勵(lì)3元;若指針指向字母C,則獎(jiǎng)勵(lì)1元.一天,前來(lái)尋開心的人轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤80次,你認(rèn)為該商人是盈利的可能性大還是虧損的可能性大?為什么?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】班長(zhǎng)小李對(duì)他所在班級(jí)(八年級(jí)班)全體同學(xué)的業(yè)余興趣愛好進(jìn)行了一次調(diào)查,據(jù)采集到的數(shù)據(jù)繪制了下面的統(tǒng)計(jì)圖表,根據(jù)調(diào)查他想寫一個(gè)調(diào)查報(bào)告交給學(xué)校,建議學(xué)校根據(jù)學(xué)生的個(gè)人興趣愛好,適當(dāng)?shù)陌才乓恍┨亻L(zhǎng)培養(yǎng)或合理安排學(xué)生在校期間的課余活動(dòng),請(qǐng)你根據(jù)圖中提供的信息,幫助小李完成信息采集.

1)該班共有學(xué)生_____人;

2)在圖1中,請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

3)在圖2中,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,音樂(lè)部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)_____度;

4)求愛好書畫的人數(shù)占該班學(xué)生數(shù)的百分?jǐn)?shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】佳佳商場(chǎng)賣某種衣服每件的成本為元,據(jù)銷售人員調(diào)查發(fā)現(xiàn),每月該衣服的銷售量(單位:件)與銷售單價(jià)(單位:元/件)之間存在如圖中線段所示的規(guī)律:

1)求之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍;

2)若某月該商場(chǎng)銷售這種衣服獲得利潤(rùn)為元,求該月這種衣服的銷售單價(jià)為每件多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知∠1=∠2,要使ABDACD,需從下列條件中增加一個(gè),錯(cuò)誤的選法是(

A.ADB=∠ADCB.B=∠CC.ABACD.DBDC

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知:正方形ABCD中,AB=4,ECD邊中點(diǎn),FAD邊中點(diǎn),AEBDG,交BFH,連接DH.

(1)求證:BG=2DG;

(2)求AH:HG:GE的值;

(3)求的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案