Question

【題目】小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時，經(jīng)歷了如下過程：

求解體驗(yàn)

(1)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),則= ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，該拋物線關(guān)于點(diǎn)(0,1）成中心對稱的拋物線的表達(dá)式是 .

抽象感悟

我們定義：對于拋物線,以軸上的點(diǎn)為中心，作該拋物線關(guān)于

點(diǎn)對稱的拋物線 ,則我們又稱拋物線為拋物線的“衍生拋物線”，點(diǎn)為“衍生中心”.

(2)已知拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求的取值范圍.

問題解決

(3) 已知拋物線

①若拋物線的衍生拋物線為,兩拋物線有兩個交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求的值及衍生中心的坐標(biāo)；

②若拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為 ,其頂點(diǎn)為；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…(為

正整數(shù)).求的長(用含的式子表示).

Answer 1

【答案】求解體驗(yàn)： ；頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,1)；；抽象感悟：；問題解決：①；（0，6）；②

【解析】(1)把(-1，0)代入 即可未出=-4，然后把拋物線解析式變?yōu)轫旤c(diǎn)式即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，繼而可得頂點(diǎn)關(guān)于（0，1）的對稱點(diǎn)，從而可寫出原拋物線關(guān)于點(diǎn)(0，1）成中心對稱的拋物線的表達(dá)式；

（2）先求出拋物線 的頂點(diǎn)是（-1，6），從而求出 (-1，6)關(guān)于的對稱點(diǎn)是，得 ，根據(jù)兩拋物線有交點(diǎn)，可以確定方程 有解，繼而求得m的取值范圍即可；

(3) ①先求出拋物線以及拋物線的衍生拋物線為，的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩拋物線有兩個交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求的值及再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出衍生中心的坐標(biāo)；

② 如圖，設(shè) ， … ， 與軸分別相于 ， … ， ，則 ，，… ， 分別關(guān)于 ， … ， 中心對稱，由題意則可得 ， … 分別是△ ， … 的中位線，繼而可得 ， ，… ，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得的長.

求解體驗(yàn)

(1)把(-1，0)代入 得，

∴，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-2，1)，

∵(-2，1)關(guān)于(0，1)的對稱點(diǎn)是(2，1)，

∴成中心對稱的拋物線表達(dá)式是：，

即 (如圖)

抽象感悟

(2) ∵ ，

∴ 頂點(diǎn)是（-1，6），

∵ (-1，6)關(guān)于的對稱點(diǎn)是，

∴ ，

∵ 兩拋物線有交點(diǎn)，

∴ 有解，

∴ 有解，

∴ ，

∴ ；(如圖)

問題解決

(3) ① ∵=，

∴ 頂點(diǎn)（-1，），

代入 得：①

∵ ，

∴ 頂點(diǎn)（1，），

代入 得：②

由① ② 得 ，

∵ ，，

∴ ，

∴ 兩頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-1，0），（1，12），

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得“衍生中心”的坐標(biāo)是（0，6）；

② 如圖，設(shè) ， … ， 與軸分別相于 ， … ， ，

則 ，，… ， 分別關(guān)于 ， … ， 中心對稱，

∴ ， … 分別是△ ， … 的中位線，

∴ ， ，… ，

∵ ， ，

∴ ].