Question

【題目】（發(fā)現(xiàn)問題）如圖①，在△ABC中，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的頂點分別為D、E，點F、M、G分別為AB、BC、AC邊的中點，求證：△DFM≌△MGE．

（拓展探究）如圖②，在△ABC中，分別以AB、AC為底邊，向△ABC的形外作等腰三角形，頂角的頂點分別為D、E，且∠BAD+∠CAE=90°．點F、M、G分別為AB、BC、AC邊的中點，若AD=5，AB=6，△DFM的面積為a，直接寫出△MGE的面積．

Answer 1

【答案】【發(fā)現(xiàn)問題】見解析；【拓展探究】a．

【解析】分析：【發(fā)現(xiàn)問題】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，DF=FA；，AG=GE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到FM∥AC,MG∥AB，推出四邊形AFMG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到FM=AG，MG=FA，∠BFM=∠BAC，∠BAC=∠MGC，即可得到結(jié)論；
【拓展探究】根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到FM∥AC,MG∥AB,∠MGC=∠BAC=∠BFM，等量代換得到∠DFM=∠MGE，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠1=∠3，根據(jù)三角函數(shù)的定義 推出 得到△DFM∽△MGE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

詳解：【發(fā)現(xiàn)問題】證明：∵△ADB是等腰直角三角形，F為斜邊AB的中點，

∴，DF=FA；

∵△ACE是等腰直角三角形,G為斜邊AC的中點,

∴，AG=GE，

∵點F.M、G分別為AB、BC、AC邊的中點，

∴FM∥AC,MG∥AB，

∴四邊形AFMG是平行四邊形，

∴FM=AG，MG=FA，∠BFM=∠BAC，∠BAC=∠MGC，

∴DF=MG，∠DFM=∠MGE，FM=GE，

在△DFM與△MGE中，

∴△DFM≌△MGE.

【拓展探究】∵點F.M、G分別為AB、BC、AC邊的中點，

∴FM∥AC,MG∥AB,

∠MGC=∠BAC=∠BFM，

∴∠DFM=∠MGE，

∵

∴∠1=∠3，

∴tan∠1=tan∠3，

即

∴

∵∠DFM=∠MGE，

∴△DFM∽△MGE，

∴

在Rt△ADF中,

∴

∵△DFM的面積為a，

∴