Question

【題目】如圖，在平面直角標(biāo)系中，拋物線C：y＝與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為y軸正半軸上一點(diǎn)．且滿足OD＝OC，連接BD，

（1）如圖1，點(diǎn)P為拋物線上位于x軸下方一點(diǎn)，連接PB，PD，當(dāng)S△PBD最大時(shí)，連接AP，以PB為邊向上作正△BPQ，連接AQ，點(diǎn)M與點(diǎn)N為直線AQ上的兩點(diǎn)，MN＝2且點(diǎn)N位于M點(diǎn)下方，連接DN，求DN+MN+AM的最小值

（2）如圖2，在第（1）問(wèn)的條件下，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，將△BOE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△B′O′E′，將拋物線y＝沿著射線PA方向平移，使得平移后的拋物線C′經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，此時(shí)拋物線C′與x軸的右交點(diǎn)記為點(diǎn)F，連接E′F，B′F，R為線段E’F上的一點(diǎn)，連接B′R，將△B′E′R沿著B′R翻折后與△B′E′F重合部分記為△B′RT，在平面內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)S，使得以B′、R、T、S為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，求點(diǎn)S的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】解：（1）；（2）（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．

【解析】

（1）由拋物線解析式求點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，由OD=OC求點(diǎn)D坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，可用待定系數(shù)法求得用t表示的直線PB解析式，即能用t表示PB與y軸交點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而用t表示DG的長(zhǎng)．以DG為界把△PBD分成左右兩邊的△PDG與△BDG，則以DG為底計(jì)算易求得△PBD面積與t的二次函數(shù)關(guān)系式，求對(duì)稱軸即得到△PBD最大時(shí)t的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P坐標(biāo)．求得∠ABP=30°，即x軸平分∠PBQ，故點(diǎn)P、Q關(guān)于x軸對(duì)稱，得到點(diǎn)Q坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線AQ解析式，發(fā)現(xiàn)∠QAB=∠PAB=60°．作直線AP，可得直線AQ與AP夾角為60°，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AP于H，即構(gòu)造出特殊Rt△MAN，得到MH=AM．把點(diǎn)D平移到D'，使DD'∥MN且DD'=MN，構(gòu)造平行四邊形MNDD'，故DN=D'M．所以DN+MN+AM可轉(zhuǎn)化為MN+D'M+MH．易得當(dāng)點(diǎn)D'、M、H在同一直線上時(shí)，線段和會(huì)最短，即過(guò)D'作D'K⊥AP于K，D'K的值為所求．根據(jù)平移性質(zhì)求D'坐標(biāo)，求直線D'K與直線AP解析式，聯(lián)立方程組求得K的坐標(biāo)，即求得D'K的長(zhǎng)．

（2）拋物線平移不改變開口方向和大小，再求得點(diǎn)E坐標(biāo)和點(diǎn)A坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求平移后的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)F．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得△ABB'與△AEE'為等邊三角形，求出點(diǎn)E'、B'坐標(biāo)，B'F⊥x軸且△B'E'F為含30°的直角三角形．把點(diǎn)R從E'移動(dòng)到F的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)∠RB'T一定小于90°，不可能成為矩形內(nèi)角，故只能是∠B'RT或∠B'TR=90°．點(diǎn)T可以在E'F上，也可以在B'F上，畫出圖形，根據(jù)含30°的直角三角形三邊關(guān)系計(jì)算各線段長(zhǎng)，即能求點(diǎn)S坐標(biāo)．

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DD'∥MN，且DD'＝MN＝2，連接D'M；過(guò)點(diǎn)D'作D'J⊥y軸于點(diǎn)J；

作直線AP，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AP于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D'作D'K⊥AP于點(diǎn)K

∵y＝＝0

解得：x1＝﹣3，x2＝1

∴A（﹣3，0），B（1，0）

∵x＝0時(shí)，y＝＝﹣

∴C（0，﹣），OC＝

∴OD＝OC＝，D（0，）

設(shè)P（t， t2+t﹣）（﹣3＜t＜1）

設(shè)直線PB解析式為y＝kx+b，與y軸交于點(diǎn)G

∴ 解得：

∴直線PB：y＝（t+）x﹣t﹣，G（0，﹣t﹣）

∴DG＝﹣（﹣t﹣）＝t+

∴S△BPD＝S△BDG+S△PDG＝DGxB+DG|xP|＝DGxB﹣xP）＝（t+）（1﹣t）＝﹣（t2+4t﹣5）

∴t＝﹣＝﹣2時(shí)，S△BPD最大

∴P（﹣2，﹣），直線PB解析式為y＝x﹣，直線AP解析式為y＝﹣x﹣3

∴tan∠ABP＝＝

∴∠ABP＝30°

∵△BPQ為等邊三角形

∴∠PBQ＝60°，BP＝PQ＝BQ

∴BA平分∠PBQ

∴PQ⊥x軸，PQ與x軸交點(diǎn)I為PQ中點(diǎn)

∴Q（﹣2，）

∴Rt△AQI中，tan∠QAI＝

∴∠QAI＝∠PAI＝60°

∴∠MAH＝180°﹣∠PAI﹣∠QAI＝60°

∵MH⊥AP于點(diǎn)H

∴Rt△AHM＝90°，sin∠MAH＝

∴MH＝AM

∵DD'∥MN，DD'＝MN＝2

∴四邊形MNDD'是平行四邊形

∴D'M＝DN

∴DN+MN+AM＝2+D'M+MH

∵D'K⊥AP于點(diǎn)K

∴當(dāng)點(diǎn)D'、M、H在同一直線上時(shí)，DN+MN+AM＝2+D'M+MH＝2+D'K最短

∵DD'∥MN，D（0，）

∴∠D'DJ＝30°

∴D'J＝DD'＝1，DJ＝DD'＝

∴D'（1，）

∵∠PAI＝60°，∠ABP＝30°

∴∠APB＝180°﹣∠PAI﹣∠ABP＝90°

∴PB∥D'K

設(shè)直線D'K解析式為y＝x+d，

把點(diǎn)D'代入得： +d＝

解得：d＝

∴直線D'K：y＝x+

把直線AP與直線D'K解析式聯(lián)立得：

解得：

∴K（﹣，）

∴D'K＝

∴DN+MN+AM的最小值為

（2）連接B'A、BB'、EA、E'A、EE'，如圖2

∵點(diǎn)C（0，﹣）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E

∴E（0，）

∴tan∠EAB＝

∴∠EAB＝30°

∵拋物線C'由拋物線C平移得到，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)E

∴設(shè)拋物線C'解析式為：y＝x2+mx+

∵拋物線C'經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）

∴×9﹣3m+＝0

解得：m＝

∴拋物線C'解析式為：y＝x2+x+

∵x2+x+＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1

∴F（﹣1，0）

∵將△BOE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△B′O′E′

∴∠BAB'＝∠EAE'＝60°，AB'＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，AE'＝AE＝

∴△ABB'、△AEE'是等邊三角形

∴∠E'AB＝∠E'AE+∠EAB＝90°，點(diǎn)B'在AB的垂直平分線上

∴E'（﹣3，2），B'（﹣1，2）

∴B'E'＝2，∠FB'E'＝90°，E'F＝

∴∠B'FE'＝30°，∠B'E'F＝60°

①如圖3，點(diǎn)T在E'F上，∠B'TR＝90°

過(guò)點(diǎn)S作SW⊥B'E'于點(diǎn)W，設(shè)翻折后點(diǎn)E'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E'

∴∠E'B'T＝30°，B'T＝B'E'＝

∵△B′E′R翻折得△B'E'R

∴∠B'E'R＝∠B'E'R＝60°，B'E'＝B'E'＝2

∴E'T＝B'E'﹣B'T＝2﹣

∴Rt△RTE'中，RT＝E'T＝2﹣3

∵四邊形RTB'S是矩形

∴∠SB'T＝90°，SB'＝RT＝2﹣3

∴∠SB'W＝∠SB'T﹣∠E'B'T＝60°

∴B'W＝SB'＝﹣，SW＝SB'＝3﹣

∴xS＝xB'﹣B'W＝，yS＝yB'+SW＝3+

∴S（，3+）

②如圖4，點(diǎn)T在E'F上，∠B'RT＝90°

過(guò)點(diǎn)S作SX⊥B'F于點(diǎn)X

∴E'R＝B'E'＝1，點(diǎn)E'翻折后落在E'F上即為點(diǎn)T

∴B'S＝RT＝E'R＝1

∵∠SB'X＝90°﹣∠RB'F＝30°

∴XS＝B'S＝，B'X＝B'S＝

∴xS＝xB'+XS＝﹣，yS＝yB'﹣B'X＝

∴S（﹣，）

③如圖5，點(diǎn)T在B'F上，∠B'TR＝90°

∴RE'∥E'B'，∠E'＝∠B'E'R＝60°

∴∠E'BE'＝∠E'RE'＝120°

∴四邊形B'E'RE'是平行四邊形

∵E'R＝E'R

∴B'E'RE'是菱形

∴B'E'＝E'R

∴△B'E'R是等邊三角形

∵∠B'SR＝90°，即RS⊥B'E'

∴點(diǎn)S為B'E'中點(diǎn)

∴S（﹣2，2）

綜上所述，使得以B′、R、T、S為頂點(diǎn)的四邊形為矩形的點(diǎn)S坐標(biāo)為（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．