Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于），兩點，與軸交于點，連接．

（1）求該拋物線的解析式，并寫出它的對稱軸；

（2）點為拋物線對稱軸上一點，連接，若，求點的坐標；

（3）已知，若是拋物線上一個動點（其中），連接，求面積的最大值及此時點的坐標．

（4）若點為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），對稱軸；（2）；（3）面積有最大值是，；（4）存在點使得以為頂點的四邊形是平行四邊形，或或.

【解析】

（1）將點A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+2即可；

（2）過點D作DG⊥y軸于G，作DH⊥x軸于H，設點D（1，y），在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=（2-y）2+1，在Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2=4+y2，可以證明CD=BD，即可求y的值；

（3）過點E作EQ⊥y軸于點Q，過點F作直線FR⊥y軸于R，過點E作FP⊥FR于P，證明四邊形QRPE是矩形，根據S△CEF=S矩形QRPE-S△CRF-S△EFP，代入邊即可；

（4）根據平行四邊形對邊平行且相等的性質可以得到存在點M使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，點M（2，2）或M（4，- ）或M（-2，-）；

解：（1）將點代入，

可得，

；

對稱軸；

（2）如圖1：過點作軸于，作軸于，

設點，

，

在中，，

在中，，

在中，

，

，

；

（3）如圖2：過點作軸于點，過點作直線軸于，過點作于，

，

四邊形是矩形，

，

，

，

當時，面積有最大值是，

此時；

（4）存在點使得以為頂點的四邊形是平行四邊形，

設，

①四邊形是平行四邊形時，

②四邊形時平行四邊形時，

，

；

③四邊形時平行四邊形時，

，

，

；

綜上所述：或或；