Question

（2012•朝陽(yáng)區(qū)一模）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，且△EAC是等邊三角形，若AC=8，AB=5，求ED的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得AO=CO，BO=DO，再根據(jù)△EAC是等邊三角形可以判定EO⊥AC，并求出EA的長(zhǎng)度，然后在Rt△ABO中，利用勾股定理列式求出BO的長(zhǎng)度，即DO的長(zhǎng)度，在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理列式求出EO的長(zhǎng)度，再根據(jù)ED=EO-DO計(jì)算即可得解．

解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO=

1

2

AC=

1

2

×8=4，DO=BO，
∵△EAC是等邊三角形，
∴EA=AC=8，EO⊥AC，…（2分）
在Rt△ABO中，BO=

AB2-AO2

=

52-42

=3，
∴DO=BO=3，…（3分）
在Rt△EAO中，EO=

EA2-AO2

=

82-42

=4

3

．…（4分）
∴ED=EO-DO=4

3

-3．…（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)判斷出EO⊥AC是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．