【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是等腰梯形,ADBC,AB=DC,BC在x軸上,點(diǎn)A在y軸的正半軸上,點(diǎn)A,D的坐標(biāo)分別為A(0,2),D(2,2),AB=2,連接AC.

(1)求出直線AC的函數(shù)解析式;

(2)求過(guò)點(diǎn)A,C,D的拋物線的函數(shù)解析式;

(3)在拋物線上有一點(diǎn)P(m,n)(n<0),過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于x軸,垂足為M,連接PC,使以點(diǎn)C,P,M為頂點(diǎn)的三角形與RtAOC相似,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)y=﹣x+2;(2)y=x2+x+2;(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣4)或(﹣10,﹣28)或(6,﹣4).

【解析】

試題分析:(1)先在RtABO中,運(yùn)用勾股定理求出OB===2,得出B(﹣2,0),再根據(jù)等腰梯形的對(duì)稱性可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),又A(0,2),利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的函數(shù)解析式;

(2)設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,將A,C,D三點(diǎn)的坐標(biāo)代入,利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)解析式;

(3)先由點(diǎn)P(m,n)(n<0)在拋物線y=﹣x2+x+2上,得出m<﹣2或m>4,n=﹣m2+m+2<0,于是PM=m2m﹣2.由于PMC=AOC=90°,所以當(dāng)RtPCM與RtAOC相似時(shí),有====2.再分兩種情況進(jìn)行討論:①若m<﹣2,則MC=4﹣m.由==,列出方程=,解方程求出m的值,得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣4);由==2,列出方程=2,解方程求出m的值,得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣10,﹣28);②若m>4,則MC=m﹣4.由==時(shí),列出方程=,解方程求出m的值均不合題意舍去;由==2,列出方程=2,解方程求出m的值,得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,﹣4).

解:(1)由A(0,2)知OA=2,

在RtABO中,∵∠AOB=90°,AB=2,

OB===2,

B(﹣2,0).

根據(jù)等腰梯形的對(duì)稱性可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0).

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+n,

,解得,

直線AC的函數(shù)解析式為y=﹣x+2;

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A,C,D的拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c,

,解得

y=x2+x+2;

(3)點(diǎn)P(m,n)(n<0)在拋物線y=﹣x2+x+2上,

m<﹣2或m>4,n=﹣m2+m+2<0,

PM=m2m﹣2.

RtPCM與RtAOC相似,

====2.

①若m<﹣2,則MC=4﹣m.

當(dāng)==時(shí),=

解得m1=﹣4,m2=4(不合題意舍去),

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣4);

當(dāng)==2時(shí),=2,

解得m1=﹣10,m2=4(不合題意舍去),

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣10,﹣28);

②若m>4,則MC=m﹣4.

當(dāng)==時(shí),=,

解得m1=4,m2=0,均不合題意舍去;

當(dāng)==2時(shí),=2,

解得m1=6,m2=4(不合題意舍去),

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,﹣4);

綜上所述,所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,﹣4)或(﹣10,﹣28)或(6,﹣4).

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