Question

25、已知二次函數(shù)y=x²-（2k+4）x+k²-4，且此函數(shù)圖象與x軸有兩個交點A、B．
（1）求k的取值范圍；
（2）若線段AB的長度為4，求此函數(shù)的關系式；
（3）如圖，若（2）中的函數(shù)圖象與y軸的交點為C，點P為該拋物線上位于y軸右邊的點，且∠PCO為銳角，試比較∠ACO與∠PCO的大�。ú槐刈C明），并寫出相應的點P橫坐標x_p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知二次函數(shù)與x軸有兩個交點，那么當y=0時，得出的關于x的二元一次方程就應該有兩個解，即△=（2k+4）²-4×（k₂-4）＞0，由此可得出k的取值范圍．
（2）A，B的長度為4，也就是（1）中得出的方程的兩個根的差的絕對值為4．那么可根據(jù)|AB|2=16，得出兩根的差的平方為16，然后將完全平方差公式轉(zhuǎn)換成完全平方和公式，從而可求出k值．進而可得出函數(shù)的關系式．
（3）可先作一個和∠ACO相等的角，然后以此角為參照進行比較．作點A關于y軸的對稱點A’
作射線CA’，則∠ACO=∠A’CO，故求得直線CA’與拋物線的交點為P，此時x_p=5，∠ACO=∠PCO，則當x_p＞5時，∠ACO＞∠PCO；又∠PCO為銳角，作CC’平行x軸，則∠C’CO為直角，且C’為點C關于拋物線對稱軸的對稱點，故其坐標為C’（2，-3），所以當2＜x_p＜5時，∠ACO＜∠PCO．當x_p＞5時，∠ACO＞∠PCO．當x_p=5時，∠ACO=∠PCO．

解答：解：
（1）令y=0，則x²-（2k+4）x+k²-4=0
因函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，
故此方程有兩個不相等的實數(shù)根
∴（2k+4）²-4（k₂-4）＞0
∴k＞-2；

（2）設方程x²-（2k+4）x+k²-4=0的兩根為x₁和x₂，
則x₁+x₂=2k+4，x₁•x₂=k²-4
∵AB=4，
故|x₁-x₂|=4
∴（x₁-x₂）²=16
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16
∴（2k+4）²-4（k²-4）=16
解得：k=-1
由（1）得k＞-2，故k=-1符合題意．
∴函數(shù)關系式為y=x²-2x-3；

（3）當x_p＞5時，∠ACO＞∠PCO；
當x_p=5時，∠ACO=∠PCO；
當2＜x_p＜5時，∠ACO＜∠PCO．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的應用以及二次函數(shù)與二元一次方程的關系，根據(jù)根與系數(shù)的關系得出函數(shù)的解析式是解題的關鍵．