Question

（2011•成華區(qū)二模）如圖，已知半徑為R的⊙O₁的直徑AB和弦CD交于點M，點A為

CD

的中點．半徑為r的⊙O₂是過點A、C、M的圓，設(shè)點A到CD的距離為d．
（1）求證：r2=

1

2

Rd；
（2）連接BD，若AC=5，O1M=

7

6

，求BD的長；
（3）過點O₁作EF∥AC，交CD于點E，交過點B的切線于點F．連接AF，交CD于點G，求證：MG=CG．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂徑定理可得AB⊥CD，再根據(jù)相交弦定理可得CM²=AM•BM，根據(jù)勾股定理可得CM²=AC²-AM²，然后整理即可得證；
（2）用R、d表示出O₁M，然后聯(lián)立關(guān)于R、d的二元二次方程消掉R，求解得到d的值，再利用勾股定理列式求出CM，然后根據(jù)△ACM和△DBM相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出求解即可；
（3）根據(jù)切線定義可得BF⊥AB，得到BF∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BFE=∠CEF，再根據(jù)EF∥AC利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CEF=∠C，從而得到∠C=∠BFE，求出△ACM和△O₁FB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

AM

O1B

=

CM

BF

，再根據(jù)△AGM和△ABF相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

AM

AB

=

MG

BF

，然后整理即可得證．

解答：（1）證明：∵直徑AB和弦CD交于點M，點A為

CD

的中點，
∴AB⊥CD，
∴CM²=AM•BM，
即CM²=d（2R-d），
在Rt△ACM中，CM²=AC²-AM²=（2r）²-d²，
∴d（2R-d）=（2r）²-d²，
整理得，r²=

1

2

Rd；

（2）解：O₁M=AO₁-AM=R-d=

7

6

，
∴R=d+

7

6

，
∵AC=5，
∴r²=

1

2

Rd=（

5

2

）²=

25

4

，
∴Rd=

25

2

，
∴（d+

7

6

）d=

25

2

，
整理得，6d²+7d-75=0，
解得d₁=3，d₂=-

25

6

（舍去），
在Rt△ACM中，DM=CM=

AC2-AM2

=

52-32

=4，
∵∠ABD=∠ACD，∠AMC=∠DMB=90°，
∴△ACM∽△DBM，
∴

AM

DM

=

AC

BD

，
即

3

4

=

5

BD

，
解得BD=

20

3

；

（3）證明：∵BF是⊙O₁的切線，
∴BF⊥AB，
又∵AB⊥D，
∴BF∥CD，
∴∠BFE=∠CEF，
∵EF∥AC，
∴∠CEF=∠C，
∴∠C=∠BFE，
又∵∠AMC=∠ABF=90°，
∴△ACM∽△O₁FB，
∴

AM

O1B

=

CM

BF

，
即

d

R

=

CM

BF

，
∵BF∥CD，
∴△AGM∽△ABF，
∴

AM

AB

=

MG

BF

，
即

d

2R

=

MG

BF

，
∴CM=2MG，
∴MG=CG．

點評：本題是圓的綜合題型，主要利用了垂徑定理，相交弦定理，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，（1）利用兩種方法表示出CM²是解題的關(guān)鍵，（2）難點在于聯(lián)立兩個方程消掉R求出d的值，（3）兩次利用三角形相似求出d、R的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．