Question

【題目】為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔(dān)．李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=﹣10x+500．

（1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔(dān)的總差價為多少元？

（2）設(shè)李明獲得的利潤為w（元），當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？

（3）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔(dān)的總差價最少為多少元？

Answer 1

【答案】（1）政府這個月為他承擔(dān)的總差價為600元．（2）當(dāng)銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000元．（3）銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔(dān)的總差價最少為500元．

【解析】

試題分析：（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出銷售的件數(shù)，然后求出政府承擔(dān)的成本價與出廠價之間的差價；

（2）由總利潤=銷售量每件純賺利潤，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函數(shù)轉(zhuǎn)化成頂點坐標(biāo)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤；

（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，結(jié)合圖象求出利潤的范圍，然后設(shè)政府每個月為他承擔(dān)的總差價為p元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出總差價的最小值．

解：（1）當(dāng)x=20時，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，

300×（12﹣10）=300×2=600元，

即政府這個月為他承擔(dān)的總差價為600元．

（2）由題意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）

=﹣10x2+600x﹣5000

=﹣10（x﹣30）2+4000

∵a=﹣10＜0，∴當(dāng)x=30時，w有最大值4000元．

即當(dāng)銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000元．

（3）由題意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，

解得：x1=20，x2=40．

∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下，

∴結(jié)合圖象可知：當(dāng)20≤x≤40時，4000＞w≥3000．

又∵x≤25，

∴當(dāng)20≤x≤25時，w≥3000．

設(shè)政府每個月為他承擔(dān)的總差價為p元，

∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）

=﹣20x+1000．

∵k=﹣20＜0．

∴p隨x的增大而減小，

∴當(dāng)x=25時，p有最小值500元．

即銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔(dān)的總差價最少為500元．